### MATLAB 中实现从笛卡尔坐标系到 Frenet 坐标的转换
在 MATLAB 中，可以利用几何关系以及路径参数化的方法完成从笛卡尔坐标系到 Frenet 坐标系的转换。以下是具体的算法描述和代码示例。
#### 1. 背景理论
Frenet 坐标系是一种局部坐标系，通常用于描述车辆沿道路行驶时的位置和方向。它由两个主要变量组成：纵向距离 \( s \) 和横向偏移量 \( d \)，分别表示沿着参考路径的距离和垂直于参考路径的方向上的偏差。为了将全局笛卡尔坐标 (\( x, y \)) 转换为 Frenet 坐标 (\( s, d \))，需要以下几个步骤：
- **计算最近点投影**：找到参考路径上离给定点 (\( x, y \)) 最近的一个点。
- **计算弧长 \( s \)**：测量该点相对于路径起点的累积长度。
- **计算横向偏移 \( d \)**：通过向量叉积或其他方法求解目标点与路径之间的垂距。
这些操作可以通过数值积分或解析表达式来实现[^3]。
#### 2. 实现过程
下面提供了一个完整的 MATLAB 函数 `cartesianToFrenet` 来完成上述功能：
```matlab
function [s, d] = cartesianToFrenet(x_global, y_global, path_x, path_y)
% 将全局笛卡尔坐标 (x_global, y_global) 转换为 Frenet 坐标 (s, d)
% 初始化变量
min_dist = Inf;
nearest_idx = 1;
% 遍历路径寻找最近点
for i = 1:length(path_x)
dist = sqrt((path_x(i) - x_global)^2 + (path_y(i) - y_global)^2);
if dist < min_dist
min_dist = dist;
nearest_idx = i;
end
end
% 获取最近点及其前后两点
prev_point = [path_x(nearest_idx-1), path_y(nearest_idx-1)];
curr_point = [path_x(nearest_idx), path_y(nearest_idx)];
next_point = [path_x(mod(nearest_idx,length(path_x))+1), ...
path_y(mod(nearest_idx,length(path_y))+1)];
% 计算切线矢量
tangent_vector = next_point - prev_point;
unit_tangent = tangent_vector / norm(tangent_vector);
% 判断当前点位于哪一侧并计算d值
global_to_path = [x_global, y_global] - curr_point;
perpendicular_distance = cross([unit_tangent, 0], [global_to_path, 0]);
d = perpendicular_distance(3);
% 使用累计距离得到s值
if nearest_idx == 1
s = 0;
else
arc_lengths = zeros(size(path_x));
for j = 2:length(path_x)
segment_length = norm([path_x(j)-path_x(j-1), path_y(j)-path_y(j-1)]);
arc_lengths(j) = arc_lengths(j-1) + segment_length;
end
s = arc_lengths(nearest_idx);
end
end
```
以上代码实现了以下逻辑：
- 寻找路径上最接近输入点的节点；
- 根据相邻两节点构建单位切向量；
- 应用叉乘法则判断横摆位移 \( d \)[^4]；
- 积累每一段路径的小段长度得出总路程 \( s \)。
#### 3. 测试实例
假设已知一条简单的曲线作为参考路径，并希望将其某一点映射至对应的 Frenet 表达形式，则可调用如下脚本测试前述函数的效果：
```matlab
clc; clear all;
% 定义参考路径（例如圆周的一部分）
theta = linspace(0, pi, 100)';
path_x = cos(theta)*50 + 100;
path_y = sin(theta)*50 + 100;
% 待转换的目标点
target_points = [
80, 90; % Point A
70, 120 % Point B
];
figure();
plot(path_x, path_y,'b'); hold on;
grid minor;
for k=1:size(target_points,1)
xp = target_points(k,1);
yp = target_points(k,2);
plot(xp,yp,'ro');
[s_val, d_val] = cartesianToFrenet(xp, yp, path_x, path_y);
fprintf('Point (%f,%f): S=%f D=%f\n',xp,yp,s_val,d_val);
end
hold off;
axis equal;
title('Cartesian to Frenet Conversion Example');
xlabel('X Coordinate');
ylabel('Y Coordinate');
legend({'Reference Path','Target Points'});
```
运行结果将会打印各指定点所对应的不同 \( s \) 和 \( d \) 参数组合[^2]。
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