41、曲线构建与插值方法的研究与应用

曲线构建与插值方法的研究与应用

在计算机图形学和图像处理领域，曲线的构建和插值是重要的研究方向。本文将介绍几种曲线构建方法以及射线空间插值方法，并分析它们的特点和优势。

平面 G2 过渡曲线的改进构建

在平面曲线设计中，G2 过渡曲线的构建是一个关键问题。研究发现，当 φ ∈(0, π/2) 时，q(φ) = 0 存在唯一根，可通过二次方程求根公式得到。对于三次贝塞尔曲线，当 x = 5/9 < 1 时，它是螺旋线，且在计算过程中两半径之比无限制。我们可以使用一对三次贝塞尔螺旋线在两个分离的圆之间构建 C 形 G2 过渡曲线，其解同样可由二次方程求根公式得到，两半径之比也无限制。

对于由一对五次 PH 螺旋线构建的 G2 过渡曲线，考虑曲线 Q(t) = x(t)T0 + y(t)N0 及其关于 t 的导数，其中 x(t) 和 y(t) 是 t 的多项式，T0 和 N0 是两个正交向量。若 {x′(t)}² + {y′(t)}² 能表示为 t 的多项式的平方，则曲线 Q(t) 为 PH 曲线。为确保 Q(t) 是 PH 曲线，定义 x′(t) = U²(t) - V²(t) 和 y′(t) = 2U(t)V(t)，其中 U(t) 和 V(t) 是多项式。当 u = v = 0，i = j，且 i ≥ 7k / [4(1 + cosθ)]（θ 是两端切线之间的夹角）时，五次 PH 曲线是螺旋线。

假设两个圆 Ω0、Ω1 分别以 C0、C1 为圆心，半径为 r0、r1（r0 ≥ r1），使用一对五次 PH 螺旋线 P0(t)、P1(t) 构建过渡曲线。设 P0(0)、P1(0) 是两条螺旋线在 P0 处的连接点，P0(1)、P1(1) 连接两个圆，T、N 是 P0