10、微分方程稳定性相关理论及方法解析

微分方程稳定性相关理论及方法解析

在研究微分方程时，稳定性是一个至关重要的概念。本文将深入探讨微分方程稳定性的多种判定方法，包括线性化方法、Lyapunov函数方法、La Salle定理以及拓扑稳定性标准等。

1. 线性化方法

考虑微分方程 $\dot{z} = f(z)$，其中 $z(0) = x \in R^n$。若 $f(\bar{x}) = 0$，则 $\bar{x}$ 为该方程的平衡状态。当存在 $\omega < 0$，$M > 0$，$\delta > 0$，使得方程的任意最大解 $z(·)$ 在初始条件 $|z(0) - \bar{x}| < \delta$ 下，在 $[0, +\infty)$ 上有定义，并且满足 $|z(t) - \bar{x}| \leq Me^{\omega t}|z(0) - \bar{x}|$（$t \geq 0$）时，称状态 $\bar{x}$ 是指数稳定的，其中所有满足该不等式的 $\omega < 0$ 的下确界被称为 $\bar{x}$ 的指数。

下面的定理给出了指数稳定平衡状态及其指数的有效刻画：
定理 7.3 ：假设连续函数 $f$ 在平衡状态 $\bar{x}$ 处可微，那么 $\bar{x}$ 对于方程 $\dot{z} = f(z)$ 是指数稳定的，当且仅当雅可比矩阵 $A = f_x(\bar{x})$ 是稳定的，并且 $\bar{x}$ 的指数为 $\omega(A)$。
证明过程如下：
- 不妨设 $\bar{x} = 0$，定义 $h(x) = f(x) - Ax$，$x \in R^n$。由假设可知，当 $|x|