82、高效位串行乘法：II 型最优正规基的应用

高效位串行乘法：II 型最优正规基的应用

1. 引言

在有限域 $GF(2^m)$ 的运算中，乘法器的设计至关重要。传统的 Berlekamp 乘法器在某些方面存在局限性，而基于 II 型最优正规基的位串行乘法器展现出了独特的优势。它不仅运算速度更快，还无需通常在对偶基乘法器中所需的基转换过程。

2. 正规基与 II 型最优正规基

• 正规基的定义 ：设 $\alpha$ 是 $GF(2^m)$ 中次数为 $m$ 的元素，$f(X) = f_0 + f_1X + \cdots + f_{m - 1}X^{m - 1} + X^m$ 是 $\alpha$ 在 $GF(2)$ 上的不可约多项式。若 $\alpha$ 的所有共轭元 $\alpha, \alpha^2, \alpha^{2^2}, \cdots, \alpha^{2^{m - 1}}$ 在 $GF(2)$ 上线性无关，则它们构成 $GF(2^m)$ 在 $GF(2)$ 上的一个基，这种形式为 ${\alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{2^{m - 1}}}$ 的基被称为正规基。
• II 型最优正规基的定义 ：当 $2^m + 1 = p$ 是素数，且满足以下两个条件之一：(1) 2 是模 $p$ 的原根；(2) -1 是模 $p$ 的二次非剩余且 2 生成模 $p$ 的所有二次剩余。令 $\alpha = \beta + \beta^{-1}$，其中 $\beta$ 是 $GF(2^{2m})$ 中的 $p$ 次本原单位根，则 $\alpha \in GF(2^m)$，且 ${\a