26、高效正规基乘法算法解析

高效正规基乘法算法解析

1. 引言

在有限域 $GF(2^m)$ 中，正规基乘法是一个重要的运算，广泛应用于密码学等领域。本文将介绍几种高效的正规基乘法算法，包括低复杂度正规基乘法（LCNB）、I 型最优正规基乘法（ONB - I）以及复合域乘法算法，并对它们的性能进行分析和比较。

2. 预备知识

2.1 正规基表示

对于所有正整数 $m$，在有限域 $GF(2^m)$ 上存在正规基（NB）。找到一个元素 $\beta \in GF(2^m)$，使得 ${\beta, \beta^2, \cdots, \beta^{2^{m - 1}}}$ 是 $GF(2^m)$ 在 $GF(2)$ 上的一个基，那么任意元素 $A \in GF(2^m)$ 可以表示为：
[A = \sum_{i = 0}^{m - 1} a_i\beta^{2^i} = a_0\beta + a_1\beta^2 + \cdots + a_{m - 1}\beta^{2^{m - 1}}]
其中 $a_i \in GF(2)$，$0 \leq i \leq m - 1$ 是 $A$ 的第 $i$ 个坐标。简记为 $A = (a_0, a_1, \cdots, a_{m - 1})$，用向量表示为 $A = a \cdot \beta^T = \beta \cdot a^T$，其中 $a = [a_0, a_1, \cdots, a_{m - 1}]$，$\beta = [\beta, \beta^2, \cdots, \beta^{2^{m - 1}}]$，$T$ 表示向量转置。

正规基表示的主要优点是元素 $A$ 可以通过其坐标的循环移位轻松