27、高效有限域乘法与对称私密信息检索技术解析

高效有限域乘法与对称私密信息检索技术解析

在当今数字化时代，有限域乘法算法和私密信息检索技术在信息安全和数据处理领域起着至关重要的作用。本文将深入探讨高效的正规基乘法算法以及一种单轮、单服务器的对称私密信息检索方案。

高效正规基乘法算法

在有限域 $GF(2^m)$ 中，正规基乘法是一个重要的运算。为了比较不同算法在 $GF(2^{33})$ 上的位级运算情况，我们列出了如下表格：
| 乘法器 | CN | #Mult | #Add | 总位运算 |
| — | — | — | — | — |
| MO [11] | 65 | 1089 | 2112 | 3201 |
| RR MO [8] | 65 | 1584 | 2673 | 2673 |
| LCNB | 65 | 561 | 2112 | 2673 |
| MO [11] | 105 | 1089 | 3432 | 4521 |
| RR MO [8] | 105 | 2244 | 3333 | 3333 |
| LCNB | 105 | 561 | 2772 | 3333 |
| CFNB | 105 | 396 | 1452 | 1848 |

从表格中可以看出，提出的 CFNB 乘法器具有最少的位级运算。对于复合值 $m$，在考虑位级运算时，著名的最优正规基 $GF(2^m)$ 并非最佳选择，因为位级运算决定了正规基乘法器硬件实现的空间复杂度。

下面给出了广义复合域上正规基乘法的位级运算定理：
设 $m = \prod_{i=1}^{n} m_i$，其中 $1 < m_1 < m_2