13、动态规划与粘性解：线性系统控制的关键理论

动态规划与粘性解：线性系统控制的关键理论

在控制理论领域，动态规划和粘性解是解决线性系统控制问题的重要理论工具。本文将深入探讨这两个核心概念，包括线性调节器问题、稳定性分析以及粘性解的相关内容。

1. 动态规划与线性调节器问题

动态规划在解决线性系统的最优控制问题中起着至关重要的作用。首先，我们来看一组关键的微分方程：
- $\dot{P} = Q + A^ P + PA - PBR^{-1}B^ P$，$P(0) = P_0$
- $\dot{q} = A^*q - PBR^{-1}q - 2Qa$，$q(0) = 0$
- $\dot{r} = -\frac{1}{4}\langle R^{-1}q, q\rangle + \langle Qa, a\rangle$，$r(0) = 0$

这些方程描述了系统状态的动态变化。其中，泛函的最小值等于$r(T) + \langle q(T), x\rangle + \langle P(T)x, x\rangle$，而最优反馈策略的形式为$u(t) = -\frac{1}{2}R^{-1}q(T - t) - R^{-1}B^*P(T - t)y(t)$，$t \in [0, T]$。

线性调节器问题的解为线性系统的稳定提供了重要思路，这与代数Riccati方程密切相关：
$Q + PA + A^ P - PBR^{-1}B^ P = 0$，$P \geq 0$

若$\tilde{P}$是该方程的解，且对于所有其他解$P$都有$\tilde{P} \leq P$，则$\tilde{P}$被称为该方程的最小解。对于