1、控制理论：概念、模型与应用

控制理论：概念、模型与应用

1. 控制理论概述

控制理论起源于约150年前，当时人们开始用数学方法分析机械调速器的性能。若相关多项式的所有根都在复平面的左半部分，调速器就能稳定运行。早期控制理论最杰出的成果之一是劳斯算法，它可用于检查给定多项式是否具备这种特性。如今，稳定性问题仍是控制理论的重要内容，而且除了技术应用，还新增了经济和生物领域的应用。自二战以来，控制理论与数学紧密相连，对变分法、微分方程理论和随机过程理论产生了重大影响。

控制理论主要研究如何找到一种策略，使系统的输出具有理想的特性。根据所需特性的不同，会产生更具体的问题，下面为您详细介绍：
- 可控性 ：若存在开环控制 $u(·)$，使得系统在时间 $T$ 内从状态 $x$ 到达状态 $z$，则称状态 $z$ 在时间 $T$ 内可从 $x$ 到达。若任意状态 $z$ 都能在时间 $T$ 内从任意状态 $x$ 到达，则称系统 $(0.1)$ 是可控的。在某些情况下，只需要将任意状态转移到给定状态，特别是原点。
- 可稳定性 ：假设对于某些 $\overline{x} \in R^n$ 和 $\overline{u} \in U$，有 $f(\overline{x}, \overline{u}) = 0$。若函数 $k: R^n \to U$ 满足 $k(\overline{x}) = \overline{u}$，且 $\overline{x}$ 是系统 $\dot{y}(t) = f(y(t), k(y(t)))$ 的稳定平衡点，则称 $k$ 为稳定反馈。
- 可观测性 ：在许多实际情况中，我们