9、最优线性二次控制器设计：无限时间控制与代数Riccati方程求解

最优线性二次控制器设计：无限时间控制与代数Riccati方程求解

在控制理论中，最优线性二次（LQ）控制是一个重要的研究领域，它涉及到无限时间最优控制、代数Riccati方程的求解以及执行器的最优位置确定等多个关键问题。本文将深入探讨这些问题，并结合具体的例子进行详细分析。

1. 无限时间最优线性二次控制

在无限维希尔伯特空间中，算子ARE的解并不总是紧凑的。如果一个有限秩算子序列$\Pi_n$一致收敛于算子$\Pi$，即$\lim_{n \to \infty} |\Pi_n - \Pi| = 0$，那么极限$\Pi$是一个紧凑算子。若ARE的解不是紧凑的，则$\Pi_n$只能强收敛于$\Pi$；若$\Pi$是紧凑的，强收敛意味着一致收敛。

定理表明，对于一个系统，若$(A, B)$是可稳定的，$(A, C)$是可检测的，并且满足以下两个条件之一：
- $B$和$C$都是紧凑算子；
- $A$生成一个解析半群，且对于某个$\alpha \in \rho(A)$，$(\alpha I - A)^{-1}$是紧凑算子。

那么Riccati算子$\Pi$是紧凑的。此外，如果$\Pi$是紧凑的，且一系列近似满足特定条件，那么有限维ARE的正半定解$\Pi_n$将一致收敛于$\Pi$。

2. 代数Riccati方程的求解

在LQ问题中，设计LQ控制器的关键在于求解矩阵代数Riccati方程（ARE）：
[A^ \Pi + \Pi A - \Pi B R^{-1} B^ \Pi + C^* C = 0]
其中，$A \in R^{n \times n}$，$B \in