7、线性控制系统的约束系统与实现理论

线性控制系统的约束系统与实现理论

1. 带约束的系统

1.1 定理 4.6 内容

假设有一个正的平稳对((\overline{x}, \overline{u}))，且(\overline{u})的所有坐标均为正，同时((A, B))是一个可控对。对于任意的(x \in E^+)以及(\overline{u})在(U^+)中的任意邻域(V)，存在一个有界控制(\widetilde{u}(·))，其取值在(V)内，并且存在一个数(t_0 > 0)，使得当(s > t_0)时，(y_{x,\widetilde{u}}(s) = \overline{x})。

1.2 定理 4.6 证明

步骤如下：
1. 取(\delta > 0)，使得({u; |\overline{u} - u| < \delta} \subset V)。根据公式((1.12))，对于任意的(t_1 > 0)，存在(\gamma > 0)，并且对于任意的(b \in R^n)，当(|b| < \gamma)时，存在一个控制(v_b(·))，满足(|v_b(t)| < \delta)，(t \in [0, t_1])，能在时间(t_1)将(b)转移到(0)。
2. 假设(|x - \overline{x}| < \gamma)，令(x - \overline{x} = b)，(\widetilde{u}(t) = v_b(t) + \overline{u})，(y(t) = y_{x,\widetilde{u}}(t))，(t \in [0, t_1])。则有：
- (\frac{d}{dt}(y(t) - \