49、拓扑博弈、可学习性与随机序列的算法随机性

拓扑博弈、可学习性与随机序列的算法随机性

1. 拓扑博弈与可学习性相关概念

1.1 拓扑博弈与Choquet集

在拓扑博弈中，对于集合 (S \subseteq X)，定义了一个双人博弈 (G_S)。博弈的每一轮是一个递减的开集序列 ({U_n} {n \in \omega})，且 (S \cap U_n \neq \varnothing)。对于一个博弈过程 (p = {U_n} {n \in \omega})，如果 (S \cap \bigcap_{n} U_n \neq \varnothing)，则玩家 II 获胜；否则，玩家 I 获胜。若玩家 II 对博弈 (G_S) 有获胜策略，则称 (S) 为 Choquet 集。

1.2 相关定理及证明

定理 5

假设集合 (P \subseteq 2^{\omega}) 包含一个 Choquet 子集 (C \subseteq P)，且 (C) 的闭包有一个稠密的可计算点子集。对于任意余可计算枚举的闭集 (Q \subseteq 2^{\omega})，若存在从 (P) 到 (Q) 的 e.P. 可学习函数，则 (Q) 包含一个可计算元素。

证明思路 ：
设 (F :\subseteq \omega^{\omega} \to \omega^{\omega}) 是一个部分可学习函数，(f :\subseteq \omega^{<\omega} \to \omega^{<\omega} \cup {?}) 是 (F) 的一个近似函数，需满足：
- (?-goodness) (