43、图灵机与黏菌在计算问题中的应用

图灵机与黏菌在计算问题中的应用

1. 图灵机的不朽配置构建

1.1 图灵机的双轨道模型

图灵机可看作具有两条轨道（但只有一个读写头）。第一条轨道是原始构造，第二条轨道是一个关于集合 {0, 1} 的双无限字 w。当计数器机器从位置 i 开始计算时，它会尝试接受由 uj = wi + j 定义的无限字 u。读取预言机的字母很容易，因为字母 x 的位置总是我们想要读取预言机的位置。

1.2 轨道构建问题及解决方法

处理 7 个计数器而非 2 个计数器无需额外机制，但存在一个问题。假设从识别语言 S ⊆ {0, 1}N 的可逆计数器机器（RCM）开始，观察图灵机的无限运行，考虑由命题 2 定义的区间 I，有两种情况：
- I = [a, ∞[（可能 a = −∞）：对于所有 i ≥ a，存在从单元格 i 开始的任意大的计算，意味着对于所有 i ≥ a，字 (uj)j≥i ∈ S。
- I = [−∞, a[：在这种情况下，无法确定任何位置 i 使得字 (uj)j≥i 属于 S。

为解决这个问题，在左搜索的递归调用中，使用另一个可逆计数器机器并以相反方向运行。例如，对于 2 计数器机器，从 Y X@ 开始，模拟向左扩展。

1.3 新构造的性质及主要结果

新构造基于两个可逆计数器机器 R1 和 R2，具有以下性质：
设 c 是图灵机 M 的不朽配置，则存在一个无限区间 I = [a, b]（a = −∞ 或 b = ∞），满足：
- 对于每个 i ∈ I，以及每个 n ≥ 0 使得 i + n ∈ I，在图灵机计算过程中，存在某个时刻第一条轨道从 i 到 i