37、有向无环图实现与维纳定理的证明探索

有向无环图实现与维纳定理的证明探索

在图论和泛函分析领域，有向无环图（DAG）的实现问题以及维纳定理的证明是两个重要的研究方向。本文将深入探讨DAG实现的算法设计和维纳定理的直接证明方法。

有向无环图实现算法

我们的算法主要分为两部分，用于处理不同情况下的有向无环图实现问题。

算法概述

• 若有向无环图实现实例的度序列允许在任意位置的势值至少为 $\Delta^2$ 的实现，我们将使用特定算法找到这种“高势”实现。
• 否则，利用所有势值有上界的事实，使用另一种算法找到“低势”实现。

通用术语和观察

• 拓扑排序表示 ：对于拓扑排序 $\varphi = v_1, \ldots, v_n$ 和两个索引 $1 \leq i \leq j \leq n$，定义 $\varphi[i, j] := v_i, v_{i + 1}, \ldots, v_j$，集合 ${v_i, \ldots, v_j}$ 也用 $\varphi[i, j]$ 表示。
• 度序列类型 ：给定度序列 $S = \left{\begin{pmatrix}a_1\b_1\end{pmatrix}, \ldots, \begin{pmatrix}a_n\b_n\end{pmatrix}\right}$，若 $\begin{pmatrix}a_i\b_i\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}a_j\b_j\end{pmatrix}$ 满足 $a_i = a_j$ 且 $b_i