38、数学定理证明与有效强零集相关研究

数学定理证明与有效强零集相关研究

在数学领域中，有诸多重要的定理和概念值得深入探讨。本文将围绕维纳定理的直接证明以及有效强零集的相关内容展开。

维纳定理的直接证明

在代数中，构造元素的逆是一个关键问题。我们关注的并非定理 1 的构造性证明（已有相关工作完成），而是能否将定理 1 的证明方法用于实际构造代数 (A) 中元素 (1/f)。

构造逆元素

在定理 1 的证明中，我们先假设 (1 + ⟨f⟩≬I(S_1)) 和 (1 + ⟨f⟩≬I(S_2))，设 (-g_1, -g_2 \in A) 为这些陈述的见证，即 (1 - fg_i \in I(S_i))（(i = 1, 2)）。通过计算 ((1 - fg_1)(1 - fg_2) = 1 - f(g_1 + g_2 - g_1fg_2))，它属于 (I(S_1)I(S_2) \subseteq I(S_1) \cap I(S_2) = I(S_1 \cup S_2))。
给定 ([0, 2\pi]) 的一个良序 ((x_{\alpha}) {\alpha\leq 2^{\aleph_0}})，我们可以将维纳定理的证明通过超限归纳法进行改写。利用上述结论，能构造出 (A) 中的元素序列 ((g {\alpha}) {\alpha\leq 2^{\aleph_0}})，使得 (g {\alpha}) 在 ({x_{\beta} : \beta \leq \alpha}) 上为零，且 (1/f = g_{2^{\aleph_0}})。
我们尝试将维纳定理证明中的归纳限制为数学归纳法。给定 ([0, 2\pi]) 中的元素序列 ((q_n)