33、细胞自动机中的密度与熵及计算的基础分析

细胞自动机中的密度与熵及计算的基础分析

1. 细胞自动机中的密度与熵

1.1 构建特定SFT

目的是构建一个SFT来检查某一层是否均匀。定义了配置集 (x \subset A^{\mathbb{Z}^2}) ，其垂直方向恒定，且每行 ((x_{i,k})_{i\in\mathbb{Z}}) 属于 (D_S) 。

• 2 - 网的定义 ：2 - 网是两个1 - 网 ((I_n) {n\in\mathbb{N}}) 和 ((J_n) {n\in\mathbb{N}}) 层级乘积的族 ((I_n \times J_n)_{n\in\mathbb{N}}) ，每个 (I_n \times J_n) 称为网的第 (n) 层。水平（垂直）线最多与2 - 网的一层相交。若 (i \in I_n) ，则 ({i} \times \mathbb{Z}) 称为第 (n) 层的列，列以水平周期 (2^n) 出现。
• Robinson SFT ：Robinson构造了一个SFT (R) ，其中每个配置被规则地划分为大小为 (2^n) 的正方形。特定状态“十字”的分布具有良好性质，即对于 (x \in R) ，({i \in \mathbb{Z}^2 \mid x_i \text{ 是十字}}) 是一个2 - 网。并且该SFT已被确定性化，存在西南确定性SFT (\overrightarrow{R}) ，它字母因子映射到 (R) 的某个非空子系统。

为证明引理4，定义了西南确定性SFT (\tilde{R}’) ，其配置垂直恒定且水平对应