9、元胞自动机中的信息存储分析

元胞自动机中的信息存储分析

1. 信息存储基础概念

信息存储的衡量与历史长度密切相关。在实际应用中，我们通常会关注活跃信息存储（Active Information Storage），它会随着历史长度 (k) 的变化而收敛到一个极限值。例如，当我们绘制估计值 (AX(k)) 与历史长度 (k) 的关系图时，会发现其收敛情况，如图所示（这里虽未展示图形，但可以想象随着 (k) 增加， (AX(k)) 逐渐趋近于一个稳定值）。其中，阴影区域代表多余熵 (E) 。随着 (k) 的增大，该衡量指标能捕捉到更广泛的时间相关性，所以 (AX(k)) 通常会随着 (k) 的增加而减小。

2. 元胞自动机的信息存储评估

在对元胞自动机（CA）规则的信息存储进行评估时，我们采用了特定的实验设置：
- 对于大多数 CA 规则，我们使用 10,000 个元胞，从随机状态初始化，保留 600 个时间步长（去除前 30 个时间步长，以使 CA 达到稳定状态）。
- 对于密度分类规则 (\varphi_{par}) ，我们使用 1,000 个元胞，保留 1,000 个时间步长。
- 采用周期性边界条件，并且利用 CA 中每个时空点的观测值来估计所需的概率分布函数，因为 CA 中的元胞是同质的。

通过多次从不同初始状态进行运行，我们验证了所有结论的可靠性，并且所有 CA 图都是在已有方法基础上进行修改生成的。

3. 合适的历史长度选择

在衡量信息存储时，历史长度 (k) 的选择至关重要。理论上，当 (k \to \infty) 时，这些衡量指标才是完全准确的，但在实际计算中这是无法实现的。通常，默认设置 (k =