32、喜欢逻辑的数学家与细胞自动机中的密度和熵

喜欢逻辑的数学家与细胞自动机中的密度和熵

数学家的机缘与运气

在数学的发展历程中，一些数学家的经历充满了机缘巧合。以纽曼和图灵为例，如果他们没有接触递归函数和不可判定性等主题，那么布莱切利园（Bletchley Park）以及之后的故事可能会截然不同。他们或许不会成为前往布莱切利园的首选，也难以取得实际那样的显著成效。可以说，他们的经历中包含了一些运气成分。

细胞自动机研究背景

细胞自动机是用于模拟复杂系统或进行计算的常用模型。它由一个细胞网络组成，每个细胞处于有限状态之一，并根据其邻居的状态同步并行更新。其熵是衡量局部长期行为复杂性或随机性的指标。此前已有研究证明细胞自动机的熵是不可计算的，但一个给定细胞自动机的熵是否为不可计算数仍然是一个悬而未决的问题。

相关概念介绍

1. 配置（Configurations）
   • 用 ( \mathbb{N} ) 表示自然数集，( \mathbb{N}_1 ) 表示正自然数集 ( \mathbb{N} \setminus {0} )，( [i, j] ) 表示整数区间 ( {i, \ldots, j} )（其中 ( 0 \leq i \leq j )），( \mathbb{R}^+ ) 表示非负实数集。
   • 设 ( A ) 是一个有限集，称为字母表，( d \in \mathbb{N}_1 ) 是维度。( A^{\mathbb{Z}^d} ) 中的任何元素 ( x ) 称为配置，( x_i ) 称为细胞 ( i ) 的状态。配置集在赋予离散拓扑的乘积拓扑下形成一个紧致拓扑空间。