7、图灵正规数与算法随机性及欧几里得构造几何理论

图灵正规数与算法随机性及欧几里得构造几何理论

1. 图灵正规数相关理论

1.1 图灵定理 1 证明

图灵定理 1 主要探讨了集合 $\bigcup_{k\geq k_0} A_k$ 中元素的性质，证明其仅包含正规数。证明采用反证法，假设存在 $x\in\bigcup_{k\geq k_0} A_k$ 且 $x$ 对于基数 $b$ 不是正规的。那么对于某个长度为 $r$ 的块 $w$，有 $\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{S(x,b,w,k)}{k}\neq\frac{1}{b^r}$。这意味着存在 $\delta > 0$ 以及无穷多个 $k$ 值，使得 $|S(x, b, w, k) - \frac{k}{b^r}| > k\delta$。

设 $T(k)$、$L(k)$ 和 $\varepsilon(k)$ 为定义 4 中的赋值，选取足够大的 $k_1\geq k_0$，使得 $T(k_1)\geq b$，$L(k_1)\geq r$ 且 $\varepsilon(k_1)\leq\delta$。这是可行的，因为 $T(k)$ 和 $L(k)$ 随 $k$ 递增，而 $\varepsilon(k)$ 随 $k$ 增大趋近于 0。对于每个 $k\geq k_1$，$x\in A_k$，根据定义 3，有 $|S(x, b, w, k) - \frac{k}{b^r}| < k\varepsilon(k)\leq k\delta$，这与前面的假设矛盾。

又因为对于 $k\geq k_0$，$E(k)\subseteq\bigcup_{i\geq k} A_i$，所以 $E(k)$ 中的所有实数都是正规的。已知