【脉宽调制DCDC功率变换学习笔记023】渐进分析法

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原创最新推荐文章于 2026-06-15 22:11:49 发布 237 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

PCB模块化设计24——DCDC电源模块PCB布局布线设计规范阅读详情

1、概念

将传递函数的渐近表达式作为分析基础，称为渐近分析法。

图 8.1 所示的是闭环控制 DC-DC 变换器的小信号框图。增益 $F_m$ 是 PWM 增益， $F_v(s)$ 是电压反馈补偿，其他小信号增益表示功率级传递函数。由图 8.1 可得

$T_{\text{m}}(s) = -\frac{\hat{v}_\text{o}(s)}{\hat{d}(s)} \frac{\hat{v}_\text{con}(s)}{\hat{v}_\text{o}(s)} \frac{\hat{d}(s)}{\hat{v}_\text{con}(s)} = (-)G_{\text{vd}}(s)(-)F_\text{v}(s)F_\text{m} = G_{\text{vd}}(s)F_\text{v}(s)F_\text{m}$ {8.1}

图 8.1 应用梅森增益定律推导出频域性能指标的表达式。音频敏感度由此确定为

$A_\text{u}(s) = \left. \frac{\hat{v}_\text{o}(s)}{\hat{v}_\text{s}(s)} \right|_{\text{closed}} = \frac{G_{\text{vs}}(s)}{1 + T_{\text{m}}(s)}$ {8.2}

如果已知小信号增益，则用式 (8.2) 可推导出音频敏感度的方程式。这种直接方法适用于反馈补偿设计，却难以产生有用的效果。代替直接方法，用渐近分析法更容易简化分析，获得设计信息。将式 (8.2) 分解成两个渐近近似值：

$A_\text{u}(s) = \frac{G_{\text{vs}}(s)}{1 + T_{\text{m}}(s)} \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{G_{\text{vs}}(s)}{T_{\text{m}}(s)} & |T_{\text{m}}| \gg 1 \\[6pt] G_{\text{vs}}(s) & |T_{\text{m}}| \ll 1 \end{cases}$ {8.3}

对于大多数实际的变换器， $|T_{\text{m}}|$ 在低频是非常大的，在中频跨越 0 dB 线，并且在高频下持续下降。因此，环路增益的 0 dB 交越频率作为渐近近似的边界：频率 $A_\text{u}(s) \approx G_{\text{vs}}(s)/T_{\text{m}}(s)$ 位于 0 dB 交越频率之前和频率 $A_\text{u}(s) \approx G_{\text{vs}}(s)$ 之后。

式 (8.3) 的渐近近似与伯德图相结合的分析方法称为渐近分析法。渐近分析法明确说明了电压反馈补偿对音频敏感度 $A_\text{u}(s)$ 的影响，从而展示出简单明了的设计信息。这种方法不需要复杂的分析处理，并且很快以一个因式分解的形式推导出 $A_{u}(s)$ 的表达式。多数情况下， $A_\text{u}(s)$ 的分解表达式有利于通过观察而立即写出。

图 8.1 中可以得到输出阻抗的表达式，为了进行渐进分析将其代入到渐近近似值中。因为式 (8.3) 和式 (8.4) 具有同样的结构，所以渐近分析法可以同时应用于音频敏感度和输出阻抗。

$Z_\text{o}(s) = \left. \frac{\hat{v}_\text{o}(s)}{\hat{i}_\text{o}(s)} \right|_{\text{closed}} = \frac{Z_\text{p}(s)}{1 + T_{\text{m}}(s)} \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{Z_\text{p}(s)}{T_{\text{m}}(s)} & |T_{\text{m}}| \gg 1 \\[6pt] Z_\text{p}(s) & |T_{\text{m}}| \ll 1 \end{cases}$ {8.4}

2、示例

用下面的方程来详细说明渐近分析，$G(s)$ 和 $T(s)$ 的简单表达式。

$F(s) = \frac{G(s)}{1 + T(s)} \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{G(s)}{T(s)} & |T| \gg 1 \\[6pt] G(s) & |T| \ll 1 \end{cases}$ {8.5}

2.1、情况 A

$G(s) = K_g < 1$,$T(s) = \omega_c/s$

举一个简单的例子，G(s)是常数，假定 T(s) 是一个单积分函数： $G(s) = K_g < 1$ 和 $T(s) = \omega_c/s$ 。图 8.2 说明了由具体给定的 G(s) 和 T(s) 构造 |F| 的渐近曲线。如前所述，|T| 的 0dB交越频率，在图 8.2 中将其表示为 $\omega_c$ ，成为近似边界。频率高于 $\omega_c$ ，|F| 跟随 |G|；频率低于 $\omega_c$ ，线性除法对应对数减法，从 |G| 中减去 |T| 得到 |F|。如图 8.2 所示，由图形分析很容易确定上升斜率和 |F| 的角频率。

如【015-016】所述，通过伯德图构造的逆过程，将IFI的渐近线转化为F(s)解析方程

$F(s)_{\text{asym}} = K_\text{f} s \frac{1}{1 + \dfrac{s}{\omega_\text{c}}}$ {8.6}

在频率 $\omega_\text{c}$ 处，将 $|F_{\text{asym}}| = |G|$ 推导首项系数 $K_\text{f}$ 的值：

$|F(s)_{\text{asym}}|_{s=\text{j}\omega_\text{c}} = |K_\text{f} s|_{s=\text{j}\omega_\text{c}} = |K_\text{f} \omega_\text{c}| = |G| \Rightarrow 20\log(K_\text{f} \omega_\text{c}) = 20\log K_\text{g}$ {8.7}

得到关系式：

$K_\text{f} \omega_\text{c} = K_\text{g}$ {8.8}

由式 (8.8) 得到 $K_{f}$ 的表达式：

$K_\text{f} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}}$ {8.9}

将式 (8.9) 代入得：

$F(s)_{\text{asym}} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}} s \frac{1}{1 + \dfrac{s}{\omega_\text{c}}}$ {8.10}

另一方面，将 $G(s) = K_\text{g}$ 和 $T(s) = \omega_\text{c}/s$ 代入式 (8.5) 中，直接推导 $F(s)$ 的精确方程式：

$F(s)_{\text{exec}} = \frac{K_\text{g}}{1 + \dfrac{\omega_\text{c}}{s}} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}} s \frac{1}{1 + \dfrac{s}{\omega_\text{c}}}$ {8.11}

对于这种特殊情况，渐近分析与精确分析相同： $F(s)_{\text{asym}} = F(s)_{\text{exec}}$ 。但是，其一致性源于 T(s) 结构简单，并非适用于一般情况。

2.2、情况B

$\displaystyle G(s) = \frac{K_\text{g}}{1+s/\omega_\text{p}},\; K_\text{g}>1,T(s)=\omega_\text{c}/s$

在这种情况下，G(s) 是低通滤波器，T(s) 是单积分器。图 8.3 是 |F| 的渐近图。

图 8.3 中 |F| 的渐近曲线被转换为 F(s) 的因式分解方程

$F(s)_{\text{asym}} = K_\text{f} s \frac{1}{\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}\right)\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{c}}\right)}$ {8.12}

通过计算 $F(s)_{\text{asym}}$ 在 $\omega_\text{p}$ 处的大小，得到 $K_\text{f}$ 值：

$\left|F(s)_{\text{asym}}\right|_{s=\text{j}\omega_\text{p}} = \left|K_\text{f} s\right|_{s=\text{j}\omega_\text{p}} =\left|G(s)\right|_{s=\text{j}\omega_\text{p}} - \left|T(s)\right|_{s=\text{j}\omega_\text{p}}$ {8.13}

化简得

$K_\text{f}\omega_\text{p} = \frac{K_\text{g}}{\dfrac{\omega_\text{c}}{\omega_\text{p}}}$ {8.14}

得到 $K_\text{f}$ 表达式

$K_\text{f} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}}$ {8.15}

另一方面，将已知的传递函数代入式 (8.5) 中得到 F(s) 传递函数的精确表达式

$F(s)_{\text{exec}} = \frac{\dfrac{K_\text{g}}{1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}}}{1+\dfrac{\omega_\text{c}}{s}} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}} s \frac{1}{\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}\right)\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{c}}\right)}$ {8.16}

这与前面渐近分析的结果相同。

2.3、情况C

$\displaystyle G(s)=K_\text{g}<1,\displaystyle T(s)=\frac{\omega_\text{c}}{s}\frac{1+s/\omega_\text{z}}{1+s/\omega_\text{p}},\ \omega_\text{p}<\omega_\text{z}$

图 8.4 阐述了 |F| 渐近图。

根据表 8.2 中的步骤将渐近曲线转换为 F(s) 的因式分解方程

$F(s)_{\text{asym}} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}} s \frac{1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}}{\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{z}}\right)\left(1+\dfrac{s}{\omega_\text{c}'}\right)}$ {8.17}

采用与情况 B 相同的步骤推导式 (8.17) 中的首项系数。将已知的 G(s) 和 T(s) 表达式直接代入到式 (8.5) 中，得到

$F(s)_{\text{exec}} = \frac{K_\text{g}}{1+\dfrac{\omega_\text{c}}{s}\dfrac{1+\dfrac{s}{\omega_\text{z}}}{1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}}} = \frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}}s \frac{1+\dfrac{s}{\omega_\text{p}}}{1+\dfrac{s}{\omega_\text{z}}+\dfrac{s}{\omega_\text{c}}+\dfrac{s^2}{\omega_\text{p}\omega_\text{c}}}$ {8.18}

通过比较式 (8.17) 和式 (8.18) 可知，渐近分析只是对精确评估的近似。即使如此，这种近似实际上是准确的，原因如下：首先，两个方程具有相同的首项系数和分子。这些系数决定了低频特性，故两个传递函数表现出相同的低频特性。其次，近似方程 $F(s)_{\text{asym}}$ 的高频渐近线由下式给出：

$\left|F(\mathrm{j}\infty)_{\text{asym}}\right| = 20\log\left(\frac{K_\text{g}\omega_\text{z}}{\omega_\text{c}}\frac{\omega_\text{c}'}{\omega_\text{p}}\right)$ {8.19}

而精确方程式由下式给出：

$\left|F(\mathrm{j}\infty)\right|_{\text{exec}} = 20\log\left(\frac{K_\text{g}}{\omega_\text{c}\omega_\text{p}}\omega_\text{p}\omega_\text{c}\right) = 20\log K_\text{g}$ {8.20}

由图 8.4 中渐近线的几何结构可知

$\frac{\omega_\text{z}}{\omega_\text{p}} = \frac{\omega_\text{c}}{\omega_\text{c}'}$ {8.21}

得到关系式

$\left|F(\mathrm{j}\infty)\right|_{\text{asym}} = \left|F(\mathrm{j}\infty)\right|_{\text{exec}} = 20\log K_\text{g}$ {8.22}

这表明两个方程的高频渐近线也是相同的。由前面的分析得出结论，在低频和高频区域渐近近似与精确方程式重复，但在中频有一些偏差。在大多数情况下，该中频误差小到可以忽略不计。

3、渐进分析步骤

$F(s) = \dfrac{G(s)}{1+T(s)}$ 的图形渐近分析包括下面两个步骤：

1) 第一步是已知 G(s) 和 T(s) 表达式，画出 $\displaystyle \left|F(\mathrm{j}\omega)\right| = \frac{\left|G(\mathrm{j}\omega)\right|}{\left|1+T(\mathrm{j}\omega)\right|}$ 的渐近图。

2) 第二步是从第一步获得的 $\left|F(\mathrm{j}\omega)\right|$ 渐近图，推导 F(s) 的表达式。表 8.1 和表 8.2 给出了渐近分析的一般规则。表 8.1 给出了 $\left|F(\mathrm{j}\omega)\right|$ 渐近图的步骤，而表 8.2 总结了从 $\left|F(\mathrm{j}\omega)\right|$ 渐近图中推导 F(s) 表达式的规则。