【脉宽调制DCDC功率变换学习笔记010】DCDC功率变换器建模-平均功率级动态特性

1、功率级动态特性的平均处理过程（CCM）

在 $dT_{s}$ 期间，当SPDT开关保持在位置a时，功率级电路导通；同样，在 $(1-d)T_{s}$ 期间，当SPDT开关保持在位置p时，功率级电路关断。

图5.3b说明了功率级动态特性的时变和平均的概念。在导通时间段 $dT_{s}$ 电感器电流 $i_{L}(t)$ 根据导通子电路的电路方程式确定；在关断时间段 $(1-d)T_{s}$ 基于关断子电路的电路方程式可以推导出 $i_{L}(t)$ 。因此，电感器电流(t)在每个切换瞬间改变形式。

平均的方法是一种分析手段，即试图产生跟随电感器电流的时间平均轨迹的平滑波形，如图5.3b中的 $\bar{i}_{L}(t)$ 所示。换句话说，平均的方法提供产生跟踪原始波形的连续电路波形的电路方程或电路模型。

DC-DC变换器有两种有用的平均方法。

状态空间平均：巧妙处理功率级的状态空间描述，使得控制的状态-空间描述预测功率级的时间平均动态特性。
电路平均：使用电路变量的时间平均行为来开发功率级的平均模型。平均功率级模型产生跟随原始波形的连续电路波形。它直接对与功率级元器件相关的电路变量进行平均。

2、状态空间平均

2.1开关状态空间模型

导通时间内功率级动态特性以状态方程的形式表示为：

$\left\{\begin{matrix} \frac{dx(t)}{dt}=A_{on}x(t)+B_{on}v_{s}(t)\\ v_{o}(t)=C_{on}x(t) \end{matrix}\right.$ (5.1)

式中，x是状态向量； $v_{s}$ 是输入电压； $v_{o}$ 是输出电压； $\begin{Bmatrix} A_{on} & B_{on} & C_{on} \end{Bmatrix}$ 是导通子电路的系数矩阵。类似的，关断时间段的状态方程

$\left\{\begin{matrix} \frac{dx(t)}{dt}=A_{off}x(t)+B_{off}v_{s}(t)\\ v_{o}(t)=C_{off}x(t) \end{matrix}\right.$ (5.2)

式中， $\begin{Bmatrix} A_{off} & B_{off} & C_{off} \end{Bmatrix}$ 是导通子电路的系数矩阵。

式(5.1)和式(5.2)所示的两个状态方程合并成一个单一状态方程

$\left\{\begin{matrix} \frac{dx(t)}{dt}=(q(t)A_{on}+(1-q(t))A_{off})x(t)+(q(t)B_{on}+(1-q(t))B_{off})v_{s}(t)\\ v_{o}(t)=(q(t)C_{on}+(1-q(t))C_{off})x(t) \end{matrix}\right.$ (5.3)

使用开关函数 $q(t)$ 的符号，定义为

$q(t)=\left\{\begin{matrix} 1 &(1) \\ 0 & (2) \end{matrix}\right.$ （5.4）

（1）为导通时间段 $dT_{s}$ ；（2）关断时间段 $(1-d)T_{s}$

式(5.3)被称为开关状态空间模型，因为它包含开关函数 $q(t)$ 。

2.2三个理想变换器的系数

2.3连续占空比和平均状态空间模型

作为获得开关状态空间模型的平均形式的第一步，对开关函数 $q(t)$ 进行平均化操作：

$d(t)=\frac{1}{T_{s}}\int_{t-T_{s}}^{t}q(\tau )d\tau$ (5.11)

式中， $T_{s}$ 是开关周期。式(5.11)中定义的 $d(t)$ 为 $q(t)$ 的平均表达式，在平均周期 $T_{s}$ 中平滑变化。在这个意义上， $d(t)$ 被解释为 $q(t)$ 的移动平均或局部平均值。 $d(t)$ 也称为连续占空比。连续占空比 $d(t)$ 的含义总结如下：

$d(t)_{t=kT_{s}}=d(kT_{s})\equiv d_{k}$ 是第k个开关周期中的实际占空比。
如果 $q(t)$ 是导通时间固定的周期函数，那么 $d_{k}=d(t)=D$ ，其中D是稳态占空比。
如果 $q(t)$ 是导通时间不固定的非周期函数，则实际占空比与连续占空比不同： $d_{k}\neq d(t)$ 。然而，如果导通时间周期中的周期变化足够小，则可以通过连续占空比近似实际占空比： $d_{k}\approx d(t)$ 。

图5.5所示为开关函数 $q(t)$ 、周期-周期占空比 $d_{k}$ ，和连续占空比 $d(t)$ 之间的关系。连续占空比 $d(t)$ 被认为是不连续的周期-周期占空比 $d_{k}$ 的连续时间近似。当 $d_{k}$ 中的周期-周期变化足够小时，由于该近似导致的误差变得可忽略。

平均状态-空间模型：

$\left\{\begin{matrix} \frac{d\bar{x}(t)}{dt}=(d(t)A_{on}+(1-d(t))A_{off})\bar{x}(t)+(d(t)B_{on}+(1-d(t))B_{off})\bar{v}_{s}(t)\\ \bar{v}_{o}(t)=(d(t)C_{on}+(1-d(t))C_{off})\bar{x}(t) \end{matrix}\right.$ (5.15)

平均状态-空间模型将连续占空比 $d(t)$ 作为输入变量，并描述了时间平均功率级动态特性，即平均状态空间模型是切换状态空间模型的连续时间近似。

连续占空比 $d(t)$ 用作将开关状态空间模型转换为平均状态空间模型的指导型变量。事实上，平均状态空间模型是通过简单地用连续占空比 $d(t)$ 代替开关函数 $q(t)$ ，并用其局部平均值代替电路变量而获得的。应该强调的是，因为时间相关变量 $d(t)$ 是与系数矩阵相乘的，所以平均状态空间模型是非线性模型。平均状态空间模型也称为平均状态方程。

稳态平衡是通过求解与所有的状态和输入变量在恒定条件下的平均状态方程实现的： $dx(t)/dt=0,v_{s}(t)=V_{s},d(t)=D$ 。

3、电路平均

3.1建模步骤

电路平均法涉及与功率级元器件相关的电路变量。通过说明建模过程的步骤可以很好地描述电路平均技术。

建立一个方程，描述与功率级中各个元器件相关的电路变量的时间行为。该方程被称为平均电路方程。
合成满足上一步中平均电路方程的电路模型。该模型称为特定电路元器件的平均模型。
将所得到的平均模型放入功率级代替原始电路元器件。
对功率级中的所有元器件重复上述过程。当所有电路元器件被其平均模型代替时，所得到的电路结构变为整个功率级的平均电路模型。平均功率级模型产生跟随原始波形的移动平均值的电路波形。

在电路平均中，并不总是需要对每一个电路元器件分别应用平均处理。事实上，几个电路元器件可以组合在一起并被视为一个复合电路元器件。

3.2PWM开关

当构建功率级的平均模型时，线性电路元器件（如电压源、电感器和电容器）可以以其原始形式出现在初始位置，需要平均处理的电路器件只有有源和无源开关。

PWM开关的端口电路变量的功能描述、电路符号和极性/方向如图5.7所示。节点a表示有源开关的有源端口，p表示无源端口，c表示公共端口。电路符号也表示公共端连接到 $dT_{s}$ 的有源端a和连接到 $d^{'}T_{s}=(1-d)T_{s}$ 的无源端p。

无论嵌入PWM开关的变换器拓扑结构如何，PWM开关都具有其端口波形的特征。首先，参照图5.6，在有源和无源端口施加直流电压。对于三个基本的DC- DC变换器，a端和p端之间的电压是

$v_{ap}(t)\left\{\begin{matrix} v_{s} &(a) \\ -v_{o}& (b)\\ v_{s}+v_{o} & (c) \end{matrix}\right.$ (5.20)

可以认为是小纹波近似下的直流电压。

c端和p端之间的电压 $v_{cp}$ 是对 $v_{ap}$ 的采样复制；在 $dT_{s}$ 期间等于 $v_{ap}$ ，并在 $d^{'}T_{s}=(1-d)T_{s}$ 期间变为零。

公共端承载的是电感器电流，为连续的三角波形：

$i_{c}(t)=\left\{\begin{matrix} i_{L}(t) & (a/c)\\ -i_{L}(t) & (b) \end{matrix}\right.$ (5.21)

有源端电流 $i_{a}$ 是 $i_{c}$ 的采样幅值，因此是脉冲式的不连续波形。

3.3PWM开关的平均化

PWM开关是嵌入到三个基本PWM变换器中的三端开关器件，可以视为单独的电路器件，其平均模型是基于端口电路行为导出的。PWM开关的电路方程式为

$\left\{\begin{matrix} v_{cp}(t)=v_{ap}(t)q(t)\\ i_{a}(t)=i_{c}(t)q(t) \end{matrix}\right.$ (5.22)

使用开关函数 $q(t)$ 为

$q(t)=\left\{\begin{matrix} 1 &(1) \\ 0 & (2) \end{matrix}\right.$ （5.23）

（1）为导通时间段 $dT_{s}$ ；（2）关断时间段 $d'T_{s}=(1-d)T_{s}$

式（5.22）表示连续电路变量 $v_{ap}$ 和 $i_c$ 分别乘以开关函数 $q(t)$ ，产生不连续电路变量 $v_{cp}$ 和 $i_{a}$ 。式（5.22）实际上是使用开关函数 $q(t)$ 导出的PWM开关的电路变量的简易表达式。

由于开关函数 $q(t)$ 的局部平均值实际上是连续占空比 $d(t)$ 。可得到平均电路变量的期望表达式

$\left\{\begin{matrix} \bar{v}_{cp}(t)=\bar{v}_{ap}(t)\bar{d}(t)\\ \bar{i}_{a}(t)=\bar{i}_{c}(t)\bar{d}(t) \end{matrix}\right.$ (5.26)

式(5.26)给出的PWM开关的平均方程描述了平均电路变量 $\bar{v}_{cp}$ 、 $\bar{v}_{ap}$ 、 $\bar{i}_{a}$ 和 $\bar{i}_{c}$ 。之间的关系。其他电路变量的平均关系可以基于基尔霍夫电压和电流定律推导：

$\left\{\begin{matrix} \bar{v}_{ac}(t)=\bar{v}_{ap}(t)-\bar{v}_{cp}(t)\\ \bar{i}_{p}(t)=\bar{i}_{a}(t)-\bar{i}_{c}(t) \end{matrix}\right.$ (5.27)

PWM开关是无损开关器件，因此它在平均电路变量方面符合功率平衡条件：

$\bar{v}_{ap}(t)\bar{i}_{a}(t)=\bar{v}_{cp}(t)\bar{i}_{c}(t)$ (5.28)

式(5.26)中PWM开关的平均方程与匝数比为 $d(t)$ 的理想双绕组变压器的电路方程相同。因此，理想的双绕组变压器可以用作PWM开关的平均模型。

图5.8所示为使用理想变压器的PWM开关及其平均模型。图5.8b中的理想变压器具有以下特性：第一，匝数比是与时间相关的变量d(t)而不是常数。第二，一次和二次绕组在无源端口处连接在一起。因此，PWM开关的平均模型是具有双绕组理想变压器结构的时变三端器件。

3.4三个基本PWM变换器的平均模型

Buck、Boost和Buck/Boost变换器的平均模型如图5.10所示。4

4、电路平均技术的一般化

在上一节中，电路平均技术适用于三个基本PWM变换器的平均模型。相对简单的建模过程适用于工作在CCM下的Buck、Boost和Buck/Boost变换器。这些建模过程可以扩展到以下一般情况：

无功电路元器件包括寄生电阻的情况。
DC-DC变换器工作在DCM的情况。
采用其他隔离PWM变换器的情况。

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