优化中的subgradient方法

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哎，刚刚submit上paper比较心虚啊，无心学习，还是好好码码文字吧。

subgradient介绍

subgradient中文名叫次梯度，和梯度一样，完全可以多放梯度使用，至于为什么叫子梯度，是因为有一些凸函数是不可导的，没法用梯度，所以subgradient就在这里使用了。注意到，子梯度也是求解凸函数的，只是凸函数不是处处可导。

f:X→R 是一个凸函数， X∈Rn 是一个凸集。 
若是f在 x′ 处 ∇f(x′) 可导，考虑一阶泰勒展开式： 

f(x)≥f(x′)+∇(f(x′)T(x−x′),∀x∈X

能够得到 f(x) 的一个下届（f(x)是一个凸函数） 
若是 f(x) 在 x′ 处不可导，仍然，可以得到一个 f(x) 的下届 

f(x)≥f(x′)+gT(x−x′),∀x∈X

这个 g 就叫做 f(x) 的子梯度， g∈Rn  
很明显，在一个点会有不止一个次梯度，在点 x 所有 f(x) 的次梯度集合叫做此微分 ∂f(x)  
 
 
 
 
 
 
 
 
我们可以看出，当 f(x) 是凸集并且在 x 附近有界时， ∂f(x) 是非空的，并且 ∂f(x) 是一个闭凸集。

次梯度性质

∂f(x)={g}⇔f(x)可微并且g=∇f(x)

满足： 
1）scaling：

∂(αf(x))=α∂f(x),if α>0

2）addition：

∂(f1(x)+f2(x))=∂fz(x)+∂f2(x)

3）point-wise maximum: f(x)=maxi=1,...,mfi(x) 并且 fi(x) 是可微的，那么： 

∂f(x)=Co{∇fi(x)∣fi(x)=f(x)}

即所有该点函数值等于最大值的函数的梯度的凸包。 
在非约束最优化问题中，要求解一个凸函数 f:Rn→R 的最小值 

x∗∈argminx∈Rnf(x)

很显然，若是f可导，那么我们只需要求解导数为0的点 

f(x∗=minx∈Rn⇔0=∇f(x∗)

当f不可导的时候，上述条件就可以一般化成 

f(x∗)=minx∈Rn⇔0∈∇f(x∗)

也即 0 满足次梯度的定义

f(x)≥f(x′)+0T(x−x′),∀x∈Rn

下面是次梯度法的一般方法：

1. t=1 选择有限的正的迭代步长 {αt}∞t=1  
2.计算一个次梯度 g∈∂f(xt)  
3.更新 xt+1=xt−αtgt  
4.若是算法没有收敛，则 t=t+1 返回第二步继续计算

次梯度方法性质：

1.简单通用性：就是说第二步中， ∂f(xt) 任何一个次梯度都是可以的. 
2.收敛性：只要选择的步长合适，总会收敛的 
3.收敛慢：需要大量的迭代才能收敛 
4.非单调收敛： −gt 不需要是下降方向，在这种情况下，不能使用线性搜索选择合适的 αt  
5.没有很好的停止准则

对于不同步长的序列的收敛结果

不妨设 ftbest=min{f(x1),..,f(xt)} 是t次迭代中的最优结果 
1.步长和不可消时（Non-summable diminishing step size）： 
limt→∞αt=0  并且 ∑∞t=1αt==∞  
这种情况能够收敛到最优解： limt→∞ftbest−f(x∗)=0  
2.Constant step size: 
αt=γ,where γ>0  
收敛到次优解： limt→∞ftbest−f(x∗)≤αG2/2  
3.Constant step length: 
αt=γ||gt|| (i.e.  ||xt+1−xt||=γ )， ||g||≤G,∀g∈∂f  
能够收敛到次优解 limt→∞ftbest−f(x∗)≤γG/2  
4.Polyak’s rule:  αt=f(xt)−f(x∗)||gt||2  
若是最优值 f(x∗) 可知则可以用这种方法。

不等式约束的凸二次优化问题

问题formulate

一个不等式约束的凸二次优化问题可以表示为： 

(w∗,b∗,ξ∗)=argminw,b,ξ[12||w||2+C∑i=1mξi]

s.t.       yi(wTxi+b)ξi≥1−ξi,   ≥0              i=1,⋯,m,i=1,⋯,m.

注意到 ξi≥max(0,1−yi(wTxi+b)) ,而且当目标函数取得最优的时候，这里的等号是成立的，所以可以进行代替: 
ξi=max(0,1−yi(wTxi+b))  
所以就可以将这个二次悠哈问题改写成一个非约束凸优化问题 

(w∗,b∗)=argminw,bf(w,b)=argminw,b[12||w||2f0(w,b)+C∑i=1mmax(0,1−yi(wTxi+b))fi(w,b)]

问题求解

因为

f0(w,b)=12||w||2

是可微的,并且 
∂wf0(w,b)=w,  ∂bf0(w,b)=0  
函数 fi(w,b)=max0,1−yi(wTxi+b) 是一个点最大值，所以其次微分可以写作，所有active function的梯度的convex combination

i -th function	∂wfi(w,b)	∂bfi(w,b)
I+={i|yi(wTxi+b)>1}	0	0
I0={i|yi(wTxi+b)=1}	Co{0,−yixi}	Co{0,−yi}
I−={i|yi(wTxi+b)<1}	−yixi	−yi

所以次微分可以写作 ∂f(w,b)=∂f0(w,b)+C∑mi=1∂fi(w,b) 可以使用参数话的表示方法，设 0≤βi≤1,i∈I0 ,所以就有 g=[w′b′]∈∂f(x)

w′(β)b′(β)=w−C∑i∈I0βiyixi−C∑i∈I−yixi=−C∑i∈I0βiyi−C∑i∈I−yi