44、字符串中立方子串最大数量的研究

字符串中立方子串最大数量的研究

1. 高度重复词与相关引理

• 高度重复词定义 ：一个词若为一个非空词的 $k$ 次方（$k \geq 3$），则称其为高度重复词（hr - word）。
• 引理 2 ：若高度重复词 $x$ 是高度重复词 $y$ 的前缀，且 $|x| \geq |y| - |root(y)|$，那么 $x$ 也是 $y$ 的后缀。证明基于周期性引理，两个词有相同的最小周期，且该周期是它们原始根长度的公约数，所以 $root(x) = root(y)$，进而 $x$ 是 $y$ 的后缀。
• 引理 3 ：假设 $x$ 和 $y$ 是两个高度重复词，其中 $y = z^3$，$x$ 是 $y$ 的子词，起始位置 $j \leq \lfloor \frac{|root(z)|}{2} \rfloor + 1$，结束位置 $k > |z^2|$，则 $|root(x)| = |root(y)|$。证明过程先得出 $|x| > \frac{3}{2}|z|$，再根据周期性引理，$|root(x)|$ 和 $|root(y)|$ 都是 $x$ 的周期，且满足一定不等式关系，从而得到 $|root(x)| = |root(y)|$。

2. 简单界限估计

• 引理 4 ：对于一个词 $u$，考虑其形式为 $v^k$（$k \geq 3$，$v$ 为原始词）的高度重复子词，对于每个这样的子词，考虑其在 $u$ 中的最后一次出现。对于 $u$