43、完全图分解为生成树及字符串中立方子串数量研究

完全图分解为生成树及字符串中立方子串数量研究

完全图的生成树分解

在图论中，完全图的生成树分解是一个重要的研究方向。我们主要探讨对称和非对称生成树的相关性质。

对称生成树

对于 (n \geq 2) 且 (2 \leq \Delta \leq n) 的情况，存在对称生成树 (T) 对 (K_{2n}) 进行分解。下面是构造对称生成树 (T) 的步骤：
1. 取扫帚图 (B_n(\Delta - 2))，由于每个毛毛虫图都允许优美标号，而 (B_n(\Delta - 2)) 是毛毛虫图（当 (\Delta - 2 = 1) 时为路径），所以能为 (B_n(\Delta - 2)) 找到一个优美标号。
2. 取 (B_n(\Delta - 2)) 的一个副本，并对其顶点进行标号。若 (B_n(\Delta - 2)) 中的一个顶点标号为 (i)（(i \in {0, 1, \ldots, n - 1})），则副本中对应的顶点标号为 (i + n)。
3. 在两个不相交的 (B_n(\Delta - 2)) 副本之间添加边 ((j, j + n))，其中 (j) 是 (B_n(\Delta - 2)) 中度数为 (\Delta - 1) 的顶点的标号（(j \in {0, 1, \ldots, n - 1})）。

通过以上步骤，我们得到一个阶数为 (2n) 的对称树 (T)，它有两个最大度数为 (\Delta) 的顶点，并且具有 (\rho) - 对称优美标号。

下面是对称生成树构造的流程图：

graph LR
    A[取扫帚