15、字符串子序列数量与近似周期的研究

字符串子序列数量与近似周期的研究

字符串子序列数量的边界研究

在字符串处理领域，确定从固定大小字母表上长度为 $n$ 的字符串中删除 $t$ 个符号可得到的子序列数量是一个重要问题。这一研究与从足够多子序列重建二进制字符串的高效算法相关，也与 Levenshtein 距离的应用有联系，Levenshtein 距离在“能够纠正替换和同步错误的块码研究”中起着核心作用。

问题定义

• 相关概念 ：
  • L - 字符串 ：字母表 $L$ 上的字符串，$|L| = s$，$L_n$ 表示所有长度为 $n$ 的 $L$ - 字符串的集合。
  • 系列 ：相同符号的最大连续段，$\tau(X)$ 表示字符串 $X$ 中的系列数量。
  • 子序列 ：从字符串 $X$ 中删除 0 个或多个符号得到的字符串 $Y$，$X$ 称为 $Y$ 的超序列。$D_t(X)$ 表示从 $X$ 中恰好删除 $t$ 个符号可得到的子序列集合。
• 已有研究 ：Calabi 证明了特定字符串形式能达到 $|D_t(X)|$ 的最大值，并找到了该最大值的生成函数表达式。Levenshtein 证明了对于任何二进制字符串 $X$，有 $\binom{\tau(X) - t + 1}{t} \leq |D_t(X)| \leq \binom{\tau(X) + t - 1}{t}$，这些边界可推广到 $