42、图的交叉数与完全图的生成树分解研究

图的交叉数与完全图的生成树分解研究

1. 图的交叉数相关内容

在图论中，图的交叉数是一个重要的研究方向。对于图 (H_n)，存在这样的结论：当 (r > 0) 且 (s \geq 0) 时，不存在一种绘制 (H_n) 的方式，使得其交叉数少于 (Z(5, n) + \lfloor\frac{n}{2}\rfloor) 且 5 - 圈 (C_5(H)) 的边互不交叉。

假设在绘制 (D) 中 (C_5(H)) 的边相互交叉。在 (D) 中至少存在一个子图 (T_j)（(j \in {1, 2, \ldots, n - 1})），满足 (cr_D(F_n, T_j) \leq 2)。由于对于所有 (i = 1, 2, \ldots, n - 1) 都有 (cr_D(T_n, T_i) \neq 0)，所以 (cr_D(F_n, T_j) \leq 2) 意味着 (cr_D(C_5(H), T_j) \leq 1)。又因为 (cr_D(C_5(H), T_n) = 0)，(T_n) 的顶点 (t_n) 位于 (D^*) 中边界包含 (C_5(H)) 所有五个顶点的区域内，且 (cr_D(C_5(H), T_j) \leq 1) 要求在 (C_5(H) \cup T_n) 的子图绘制中有一个边界至少包含 (C_5(H)) 四个顶点的区域。这只有在 (C_5(H)) 中与一个公共顶点关联的两条边交叉时才可能，这与绘制 (D) 是良好绘制的要求相矛盾，从而完成证明。

接下来研究 (G_i \times S_n)（(i = 13, 15, 18)）的交叉数。设 (K) 是一个有五个顶点的连通图，通过将 (K) 的所有顶点连接到连通图 (G) 的五个顶点，使得 (K) 的每个顶点恰好与 (