34、有界秩宽图上的更好多项式算法

有界秩宽图上的更好多项式算法

1. 动态算法概述

动态算法通常会收集局部部分关于所研究问题的“所有相关信息”，然后将这些信息处理贯穿整个输入。关键任务在于明确“所有相关信息”的具体含义。

基本方法定义了所谓的规范等价，类似于正则语言理论中的“右同余”。有一种增强形式主义，即PCE方案，它能很好地控制有界秩宽图上FPT算法的运行时间。同时，也会处理没有FPT算法的问题，需要采用不同但类似的形式化方法。

2. XP算法中的应用

2.1 计算色数

2.1.1 基本概念

对于图的色数问题，可将着色视为图的顶点划分。图G的一个颜色划分N是将V(G)划分为两两不相交的非空集合，且每个集合X∈N在G中是独立的。图G的色数是使得N是G的颜色划分的最小|N|。

2.1.2 定理及相关引理

• 定理4.1 ：假设输入图G以t - 标记的解析树T的形式给出，那么G的色数可以在时间O(|V(G)|h(t))内计算，其中h(t) = O(2t(t + 1)/2)。
• 引理4.2 ：假设t - 标记的图 ¯G和 ¯H，以及任意集合X⊆V( ¯G)，Y⊆V( ¯H)。在连接图 ¯G⊗ ¯H中，X中的顶点和Y中的顶点之间没有边，当且仅当子空间⟨γ( ¯G, X)⟩在GF(2)t中与子空间⟨γ( ¯H, Y)⟩正交。
• 推论4.3 ：假设t - 标记的图 ¯G1、 ¯G2和 ¯H，以及独立集Xi⊆V( ¯Gi)（i = 1, 2）和Y