67、图与随机字符串集的多项式深度相关研究

图与随机字符串集的多项式深度相关研究

有界秩宽图的线性时间算法

有界秩宽图的研究在算法领域具有重要意义。对于一个 t - 标记图，通过引理 4 可知，其简化特征树 RCq(G) 的大小至多为关于 q 和 t 的某个可计算函数 f1(q, t)。而引理 8 表明，合并两个大小为 f1(q, t) 的简化特征树所需的时间为 f(q, t) = poly(f1(q, t))。

构建 RCq(G) 的总时间可以通过其解析树分解 T 来分析。我们断言从解析树分解 T 构建 RCq(G) 所需的总时间为 O(f(q, t)·|T|)，这里利用了图 G 的秩宽至多为 t 这一事实，证明采用对 |T| 进行归纳的方法。当 |T| = 1 时，根据引理 5，该断言成立。假设 ¯G = ¯G1 ⊗[g|h1, h2] ¯G2，其中 g, h1, h2 是 t - 重新标记，T1 和 T2 分别是 ¯G1 和 ¯G2 的解析树，那么 |T| = |T1| + |T2| + 1。由归纳假设可知，构建 RCq(G1) 和 RCq(G2) 所需的时间分别为 O(f(q, t)·|T1|) 和 O(f(q, t)·|T2|)。再根据引理 7，在已知 RCq(G1)、RCq(G2) 和 ¯d = ε 的情况下可以构建 RCq(G)。结合引理 8，构建 RCq(G) 所需的时间为 O(f(q, t) + f(q, t) · |T1| + f(q, t) · |T2|) = O(f(q, t) · |T|)，从而证明了该断言。

在模型检查游戏 MC(RCq(G), ϕ, ϵ, ϵ) 中，为了检查验证者是否有获胜策略，可以使用一个简单的递归算法。模型检查游戏的一个位置 p = (ψ, ¯x, ¯X, u) 可以与该算