96、深度学习中的张量方法

深度学习中的张量方法

1. 引言

深度学习架构，如卷积、循环和自注意力网络，在人工智能的多个应用领域带来了质的突破，特别是计算机视觉、语音和自然语言处理等机器学习任务。这些架构成功的关键在于，它们能有效利用数据的统计特性，如平稳性（如平移和时间不变性）和组合性（如图像和自然语言的层次结构），学习高维非线性函数的近似，从而成功描述复杂的现实世界数据。

这些学习架构的核心是多维参数块，自然地由高阶张量表示。例如，深度卷积神经网络（DCNNs）由多维卷积层、逐点非线性函数（如ReLU）和下采样（池化）层交替组成，还包含张量结构的全连接层。卷积神经网络（CNNs）中使用多维卷积可以提取数据域中共享的局部特征，这大大减少了可学习参数的数量，缓解了维度灾难的影响，同时不牺牲逼近目标函数的能力。在处理文本等序列数据时，深度循环网络和最近的深度自注意力网络通过一系列多维参数块对数据和参数之间的高阶交互进行建模，已被证明能有效捕捉长时依赖和高阶相关性。这些参数张量，如卷积核或注意力块，可以看作是矩阵表示的线性映射概念的多线性映射推广。

具体来说，张量是矩阵的多维推广，是多线性代数的核心数学对象，就像向量和矩阵是线性代数的核心一样。张量的阶是访问其元素所需的索引数量。矩阵是二阶张量，有行和列两个模式，需要两个索引来访问其元素。类似地，N阶张量有N个模式，需要N个索引。

张量在科学和工程的广泛领域都有应用，从多体量子系统到代数几何和理论计算机科学等。在数据科学及相关领域，如机器学习、信号处理、计算机视觉和统计学中，张量用于表示和分析多维数据（如图像和视频）中隐藏的信息，或捕捉和利用向量值变量之间的高阶相似性或依赖性。就像向量样本的成对（即二阶）相似性由协方差或相关矩阵表示一样，三阶