48、现代音频/图像/视频变换设计全解析

现代音频/图像/视频变换设计全解析

1. 背景与基础概念

在多媒体编码和处理领域，现代变换设计有着诸多理想特性，如良好的阻带衰减、用于感知愉悦重建的基函数平滑性、具备精确恢复能力的整数到整数映射以实现无损/有损编码框架的统一，以及在软硬件中实现快速计算和高效实现，像低功耗实时系统的无乘法器特性、原地计算、低内存缓冲、高模块化和规则性的超大规模集成电路友好性、便于感兴趣区域编码/解码和计算并行性等。

1.1 符号表示

• (R)、(Q)和(Z)分别表示实数集、有理数集和整数集。
• (D)表示二进有理数集，即所有能表示为(\frac{k}{2^m})（(k,m\in Z)）形式的有理数。
• 粗体小写字符表示向量，粗体大写字符表示矩阵。矩阵(A)的转置、逆、行列式和第(i)行第(j)列元素分别用(A^T)、(A^{-1})、(\vert A\vert)和(a_{ij})表示。
• 一些特殊矩阵有：分析滤波器组的多相矩阵(E(z))、综合滤波器组的多相矩阵(R(z))、单位矩阵(I)、反转或反对角矩阵(J)、零矩阵（或向量）(0)、全(1)向量(1)、置换矩阵(P)和对角矩阵(D)。
• (M)通常表示滤波器组的通道数或变换的大小。
• (N)点向量(x)的(\ell_p)范数定义为(|x| p = (\sum {i = 0}^{N - 1} \vert x_i\vert^p)^{\frac{1}{p}})，其中(\ell_2)范数(|x|_2 = \sqrt{x^T x})尤为重要。

1.2 变换基础