17、随机过程与序列的深入解析

随机过程与序列的深入解析

1. 随机过程基础

随机过程是对随机变量概念的直接推广。当一个随机实验的结果 $s$ 随时间 $t$ 变化时，每个结果可通过 $X(s(t))$ 映射为一个实函数 $x(t)$，这些随时间变化的样本函数构成了随机过程 $X(t)$。对于固定的 $t_0$，$X(t_0)$ 就退化为一个普通的随机变量，所以随机过程可以看作是按时间顺序排列的多个随机变量。

例如，同时观测全球各地的空气湿度 $H(t)$，每个实现 $h(t)$ 描述了地球上某个随机选择地点的湿度随时间的变化，而随机变量 $H(t_0)$ 则描述了在时刻 $t_0$ 全球空气湿度的分布。

随机过程可分为连续时间和离散时间两种类型。结合随机变量连续或离散的分类，又有连续值和离散值随机过程之分。为避免分类表述的歧义或冗长，对于连续时间情况通常使用“随机过程”，离散时间情况使用“随机序列”，“连续”和“离散”仅用于描述幅度值。

2. 随机过程和序列的分布

2.1 分布定义

对随机过程或序列进行完整描述可通过联合累积分布函数（CDF）或概率密度函数（PDF），但这在实际中不可行。L 阶分布可对其进行部分表示，这种表示引入了时间参考。

随机过程 $X(t)$ 的 CDF 定义为：
[F_X(x_1,x_2,\cdots,x_L;t_1,t_2,\cdots,t_L) = P({X(t_1) \leq x_1,X(t_2) \leq x_2 \cdots,X(t_L) \leq x_L})]
对应的 PDF 为：
[f_X(x_1,x_2,\cdots,x_L;t_1,t_2,\cdots