10、连续时间信号与系统：从拉普拉斯变换到傅里叶分析

连续时间信号与系统：从拉普拉斯变换到傅里叶分析

1. 拉普拉斯变换与传递函数

拉普拉斯变换是解决微分方程的重要工具，对于线性时不变（LTI）系统，通过对其数学表示（如微分方程或卷积积分）进行拉普拉斯变换，可引出传递函数的概念。传递函数 (H(s)) 定义为输出信号的拉普拉斯变换 (Y(s)) 与输入信号的拉普拉斯变换 (X(s)) 之比，即 (H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}) ，它也对应系统冲激响应 (h(t)) 的拉普拉斯变换，即 (H(s) = \mathcal{L}{h(t)})。

假设所有初始条件为零，使用传递函数求解系统通常更简便，因为时域中的卷积积分在变换域中变为乘法运算：
[Y(s) = \mathcal{L}{h(t) * x(t)} = H(s)X(s)]
[y(t) = \mathcal{L}^{-1}{H(s)X(s)}]

例如，对于图 2.4 所示的电路，传递函数为 (H(s) = \frac{1/RC}{s + 1/RC}) 。若输入 (x(t) = u(t)) ，则 (X(s) = \frac{1}{s}) ，输出 (Y(s) = H(s)X(s) = \frac{1/RC}{(s + 1/RC)s} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/RC}) ，通过逆拉普拉斯变换可得 (y(t) = u(t) - e^{-\frac{1}{RC}t}u(t)) 。

传递函数 (H(s)) 通常可表示为两个关于 (s) 的多项式之比 (H(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}) ，其中分子 (P(s)) 的根称为零点，分母 (Q(s)) 的根称为极点。零点和极点通常在复平面