16、能量模型与生成对抗网络：原理、挑战与应用-优快云博客

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能量模型与生成对抗网络：原理、挑战与应用

1. 能量模型概述

能量模型（EBMs）在机器学习领域有着重要地位，它通过能量函数来定义概率分布。其中，子空间受限玻尔兹曼机（subspaceRBM）是一种基于能量函数的模型，其参数为 θ = {W, b, c, D}，其中 W ∈ R^(D×M×K)，b ∈ R^D，c ∈ R^M，D ∈ R^(M×K)。

1.1 子空间受限玻尔兹曼机（subspaceRBM）

子空间受限玻尔兹曼机的能量函数对应的吉布斯分布具有以下条件依赖关系：
- (p(x_i = 1|h, S) = sigm(\sum_{j}\sum_{k}W_{ijk}h_js_{jk} + b_i))
- (p(s_{jk} = 1|x, h_j) = sigm(\sum_{i}W_{ijk}x_ih_j + h_jD_{jk}))
- (p(h_j = 1|x) = sigm(-Klog2 + c_j + \sum_{k = 1}^{K}softplus(\sum_{i}W_{ijk}x_i + D_{jk})))

这些条件依赖关系可用于制定类似对比散度的学习算法。在 (p(h_j = 1|x)) 的表达式中，(-Klog2) 项对隐藏单元的激活施加了自然惩罚，该惩罚与子空间隐藏变量的数量呈线性关系。只有当总输入的 softplus 之和超过惩罚项和偏置项时，门单元才会激活。

子空间受限玻尔兹曼机展示了能量函数的实用性，它可以用于建模各种随机关系。例如，它可用于建模不变特征，还可以对受限玻尔兹曼机（RBMs）的能量函数进行其他修改，以实现空间变换或尖峰 - 平板特征的训练。

1.2 受限玻尔兹曼机（RBMs）的特点

受限玻尔兹曼机具有以下几个有用的特性：
- 二分结构助力训练 ：二分结构有助于训练，可用于制定高效的训练程序，如对比散度算法。该算法利用块吉布斯采样，通过在随机点或潜在样本处初始化链，然后有条件地训练另一组变量，类似于乒乓球游戏，不断采样直到收敛或达到停止条件。
- 潜在变量分布可解析计算 ：潜在变量的分布可以通过解析方法计算，并且可以看作是由逻辑回归参数化的。这表明 sigmoid 函数自然地从能量函数的定义中产生。
- 连接限制下的强大模型 ：连接之间的限制表明，我们仍然可以构建部分解析可处理的强大模型。这为开发更复杂结构的模型开辟了新的研究方向，如尖峰 - 平板 RBMs、高阶 RBMs、用于分类观测或实值观测的 RBMs，以及处理时间序列数据的 RBMs。

RBMs 的训练基于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）技术，如对比散度算法。此外，还可以通过正则化或其他学习算法（如 Perturb-and-MAP 方法、最小概率流等）来训练 RBMs 以实现特定特征。

1.3 深度玻尔兹曼机（Deep BMs）

深度玻尔兹曼机是玻尔兹曼机的自然扩展，具有深度架构或分层结构。分层模型的思想在人工智能中起着至关重要的作用，因此有许多具有分层（深度）架构的玻尔兹曼机扩展。

然而，深度玻尔兹曼机的训练由于配分函数的复杂性而更具挑战性。一种主要的训练方法是将每对连续层视为一个 RBM，并逐层进行训练，将下层视为观测值。这种方法在神经网络的无监督预训练中得到了成功应用。

1.4 配分函数的近似

配分函数是能量模型中的关键量，它允许计算玻尔兹曼分布。然而，对所有随机变量的值求和在计算上是不可行的。因此，我们可以使用以下近似技术：
- 变分方法 ：有几种变分方法可以使用贝特近似来下界对数配分函数，或使用树加权和积算法来上界对数配分函数。
- Perturb-and-MAP 方法 ：将配分函数与随机变量的最大统计量相关联，并应用 Perturb-and-MAP 方法。
- 随机近似 ：最直接的方法是利用采样程序，如退火重要性采样。

这些近似方法对于特定的玻尔兹曼机（如具有二进制变量或特定结构的玻尔兹曼机）可能有用，但总体而言，配分函数的近似仍然是一个开放问题，也是在实际应用中大规模使用能量模型的主要障碍。

1.5 能量模型的潜力与挑战

能量模型具有很大的潜力，主要体现在以下两个方面：
- 不需要使用任何调节因子来平衡分类损失和生成损失，这与混合建模方法不同。
- 相关研究结果表明，能量模型可以实现最先进的分类误差，合成高保真度的图像，并在分布外选择中具有很大的用途。

然而，能量模型也存在一个尚未解决的主要问题：计算 (p(x))。由于计算能量模型中的边际分布很麻烦，因此在许多应用中使用这些模型存在疑问。但这仍然是一个非常有趣的研究方向，高效计算配分函数和从模型中高效采样对于训练强大的能量模型至关重要。

2. 生成对抗网络（GANs）

2.1 潜变量模型的训练问题

潜变量模型通过先采样潜在变量 (z \sim p(z))，然后生成观测值 (x \sim p_θ(x|z)) 来定义生成过程。然而，训练潜变量模型时，训练目标是一个问题。根据概率论，需要通过边缘化去除所有未观察到的随机变量，这相当于计算（边际）对数似然函数：
(log p_θ(x) = log \int p_θ(x|z) p(z) dz)

计算这个积分是有问题的，因为除非所有分布都是高斯分布且 (x) 和 (z) 之间的依赖关系是线性的，否则该积分无法解析求解。

2.2 密度网络（Density Networks）

为了解决积分计算问题，可以使用蒙特卡罗采样方法近似积分：
(log p_θ(x) = log \int p_θ(x|z) p(z) dz \approx log \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} p_θ(x|z_s) = LogSumExps {p_θ(x|z_s)} - log S)

其中 (LogSumExps {f(s)} = log \sum_{s = 1}^{S} exp (f(s))) 是对数求和指数函数。

假设这是一个良好的近似，我们将计算积分的问题转化为从先验分布采样的问题。可以假设一个相对容易采样的先验分布，如标准高斯分布 (p(z) = N(z|0, I))。然后使用神经网络对 (p_θ(x|z)) 进行建模。

密度网络是许多深度生成模型的先驱，了解它们有以下几个原因：
- 有助于理解其他潜变量模型及其改进方法。
- 是理解规定模型和隐式模型差异的良好起点。
- 允许制定非线性潜变量模型并使用反向传播（或一般的梯度下降）进行训练。

然而，密度网络也有一些缺点：
- 除了与概率主成分分析（PCA）等效的情况外，没有解析解。
- 得到的是对数似然函数的近似值。
- 需要大量的先验样本才能得到可靠的对数似然函数近似。
- 受到维度灾难的影响。

2.3 隐式建模与生成对抗网络

2.3.1 摆脱 Kullback-Leibler 散度

密度网络使用（边际）对数似然函数来评估训练数据和生成对象之间的差异，这相当于优化经验分布和模型之间的 Kullback-Leibler（KL）散度 (KL [p_{data}(x)||p_θ(x)])。KL 散度方法需要良好行为的分布，并且可以看作是一种局部比较方法。

然而，我们不需要局限于 KL 散度，可以使用其他度量来比较真实数据和生成对象，如积分概率度量（如最大均值差异 MMD）或其他散度。此外，还可以考虑使用可学习的损失函数，并利用神经网络来计算差异。

2.3.2 摆脱规定分布

密度网络需要输出完整的分布，但实际上我们可以只返回一个点，将条件似然定义为狄拉克δ函数：
(p_θ(x|z) = δ (x - NN_θ(z)))

这相当于 (NN_θ(z)) 只输出均值。考虑 (x) 的边际分布，它是无限个δ峰的混合，这种建模分布的方式称为隐式建模。

在规定建模设置中，(log δ (x - NN_θ(z))) 项是未定义的，无法用于许多概率度量，包括 KL 项。因此，我们可以考虑定义自己的损失函数，并使用神经网络进行参数化。

2.3.3 对抗损失

生成对抗网络（GANs）通过引入对抗损失来解决上述问题。可以用一个欺诈者和专家的故事来理解 GANs 的原理：欺诈者试图模仿已故艺术家（如毕加索）的风格创作假画，专家则负责区分真画和假画。随着时间的推移，欺诈者和专家都不断学习和提高。

在 GANs 中，专家被称为判别器 (D_α : X → [0, 1])，它接受一个对象 (x) 并返回其为真实数据（来自经验分布）的概率；欺诈者被称为生成器 (G_β : Z → X)，它接受噪声并生成对象 (x)。

我们构建的目标函数如下：
- 有两个数据源：(x \sim p_θ(x) = \int G_β(z) p(z) dz) 和 (x \sim p_{data}(x))。
- 判别器解决分类任务，将所有假数据点标记为 0，所有真实数据点标记为 1。
- 使用二元交叉熵损失函数：
(ℓ(α, β) = E_{x \sim p_{real}} [log D_α(x)] + E_{z \sim p(z)} [log (1 - D_α(G_β(z)))])
- 我们尝试最大化 (ℓ(α, β)) 关于 (α)（判别器），即让判别器尽可能准确。
- 生成器尝试最小化 (ℓ(α, β)) 关于 (β)（生成器），即试图欺骗判别器。

最终的学习目标是：
(\min_{β} \max_{α} E_{x \sim p_{real}} [log D_α(x)] + E_{z \sim p(z)} [log (1 - D_α(G_β(z)))])

我们将 (ℓ(α, β)) 称为对抗损失，因为判别器和生成器有相反的目标。

2.4 生成对抗网络的结构

生成对抗网络由以下部分组成：
- 生成器 ：将噪声转换为假数据。
- 判别器 ：对输入数据进行真假分类。
- 神经网络参数化 ：生成器和判别器都使用深度神经网络进行参数化。

通过这种对抗训练的方式，生成器和判别器不断相互学习和竞争，最终生成器可以生成与真实数据难以区分的样本。

综上所述，能量模型和生成对抗网络都在机器学习和人工智能领域有着重要的应用和研究价值。能量模型通过能量函数和配分函数来定义概率分布，但配分函数的计算是一个挑战；生成对抗网络通过引入对抗损失和隐式建模的思想，解决了潜变量模型训练中的一些问题。未来，我们需要进一步研究如何高效计算配分函数和优化生成对抗网络的训练，以推动这些模型在更多领域的应用。

3. 能量模型与生成对抗网络的对比分析

3.1 训练方式对比

能量模型 ：能量模型的训练通常基于 MCMC 技术，如对比散度算法。以受限玻尔兹曼机为例，通过块吉布斯采样，在随机点或潜在样本处初始化链，然后有条件地训练另一组变量。然而，深度玻尔兹曼机由于配分函数的复杂性，训练更为困难，常采用逐层训练的方式，将每对连续层视为一个 RBM 进行训练。
生成对抗网络 ：GANs 通过对抗训练的方式，让生成器和判别器相互竞争。生成器试图生成能够欺骗判别器的假数据，而判别器则努力区分真实数据和假数据。这种对抗训练的过程可以用以下 mermaid 流程图表示：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(初始化生成器和判别器):::process
    B --> C(生成器生成假数据):::process
    C --> D(判别器对真实数据和假数据进行分类):::process
    D --> E(计算对抗损失):::process
    E --> F{损失是否收敛}:::process
    F -- 否 --> G(更新生成器和判别器参数):::process
    G --> C
    F -- 是 --> H([结束]):::startend

3.2 分布建模对比

能量模型 ：能量模型通过能量函数来定义概率分布，如子空间受限玻尔兹曼机。其分布建模需要计算配分函数，但配分函数的计算通常是不可行的，需要使用近似技术，如变分方法、Perturb - and - MAP 方法或随机近似。
生成对抗网络 ：GANs 采用隐式建模的方式，通过生成器将噪声转换为数据，避免了显式定义分布的问题。生成器的输出可以看作是一个无限混合的狄拉克δ函数，从而在观测空间中形成一个分布。

3.3 优缺点总结

模型类型	优点	缺点
能量模型	- 不需要调节因子平衡分类损失和生成损失 - 可实现先进的分类误差和高保真图像合成 - 部分模型具有解析可处理性	- 配分函数计算困难 - 计算边际分布麻烦，限制了应用范围
生成对抗网络	- 避免了显式定义分布和计算积分的问题 - 能够生成高质量的样本	- 训练不稳定，容易出现模式崩溃等问题 - 难以评估生成样本的质量

4. 实际应用案例

4.1 图像生成

能量模型 ：能量模型可以用于图像生成，通过学习图像的能量函数，生成具有相似特征的图像。例如，通过训练子空间受限玻尔兹曼机，可以捕捉图像的不变特征，从而生成具有特定风格的图像。
生成对抗网络 ：GANs 在图像生成领域取得了巨大的成功。以 DCGAN（深度卷积生成对抗网络）为例，它使用卷积神经网络对生成器和判别器进行参数化，能够生成高质量的图像，如人脸、风景等。

4.2 异常检测

能量模型 ：能量模型可以通过计算数据的能量值来检测异常。正常数据的能量值通常较低，而异常数据的能量值较高。因此，可以通过设置能量阈值来识别异常数据。
生成对抗网络 ：GANs 也可以用于异常检测。判别器可以学习真实数据的特征，当输入数据与真实数据差异较大时，判别器会给出较低的概率，从而识别出异常数据。

4.3 数据增强

能量模型 ：能量模型可以通过生成与训练数据相似的样本，来进行数据增强。例如，在图像分类任务中，可以使用 RBMs 生成更多的图像样本，以提高模型的泛化能力。
生成对抗网络 ：GANs 在数据增强方面也有广泛的应用。生成器可以生成大量的假数据，这些假数据可以与真实数据一起用于训练模型，从而增加训练数据的多样性。