19、平行机器人重力平衡与恒力发生器的解析与应用

平行机器人重力平衡与恒力发生器的解析与应用

1. 机器人重力平衡方法概述

机器人重力平衡具有多种实现方式，不同方法各有优缺点，适用于不同类型的机器人系统。
- 重复机构平衡法 ：通过添加与原机构尺寸和质量相同的连杆来实现动态平衡。通常在原机构和复制机构之间使用恒定传动比的传动装置，以保持自由度总数不变。复制机构与原机构运动相同，但存在相位差或反向运动。添加与原机构水平轴对称的机构可完全平衡重力。根据需要实现完全或部分动态平衡，可使用两个或四个复制机构。这种方法能实现完全静态和动态平衡，但会显著增加系统成本和复杂性。不过，一旦原机构确定，平衡机构的设计就很直接。在一些简单连杆系统中，如压力机、内燃机或自动化机器，添加复制机构较为有用；但在复杂机器人系统中使用较少。
- 弹簧与质量平衡系统 ：弹簧和质量平衡系统各有优劣。弹簧通常对振动力无影响，对惯性的影响也可忽略不计，但会影响关节的反作用力。在高速运动的平衡机构中，弹簧通常是更优选择。而质量平衡系统，如使用配重，在某些情况下会增加较大质量，从而在高动态条件下影响性能。

2. 重力平衡的目标、优势与局限性

重力平衡对机器人具有多方面的影响，在设计机器人时需要综合考虑其优势和局限性。
- 优势
- 降低能耗 ：在准静态条件下，重力平衡可使机器人执行器所需的力和扭矩极低，电机只需补偿关节摩擦，从而显著降低能耗。这对于直接驱动机器人尤为重要，因为这类机器人在静止时电机需长时间直接提供大扭矩，容易出现尺寸和过热问题，重力平衡可缓解这些问题。
- 便于编程操作 ：对于通过回放编程的串行或并行机器人，重力平衡是必要的，操作员可手动驱动机器人通过所需姿势进行“训练”。
- 提高性能与可靠性 ：一般来说，重力平衡可减少机构的振动和噪音，降低关节的磨损和疲劳，减少连杆的应力。在串行机器人中，重力平衡的优势更为明显，因为每个执行器需承受后续所有元件的重量，重力平衡是标准设计步骤。例如，KUKA R360和PUMA 200机器人手臂可利用电机作为部分平衡的配重；ABB IRB 4400或Fanuc M400/M900系列即使仅平衡机器人的第一个关节，也能在增加少量复杂性的情况下显著降低执行器扭矩。
- 局限性 ：在高动态条件下，平衡可能会恶化机器人的性能，因为添加的元件重量会增加惯性效应。特别是使用配重时，这种影响更为显著。因此，在设计机器人时，需要对重力平衡的优缺点进行个案分析。

3. 重力平衡方法的设计思路

机器人重力平衡方法的设计有不同的目标和思路，可根据实际情况选择合适的方法。
- 独立设计与后期补偿 ：理想情况下，应开发可添加到特定类别机器人的重力平衡装置，使机器人和平衡装置的设计阶段分离。这样，机器人的运动学和设计参数可独立优化，重力平衡系统的参数可在后期推导。这种方法对于工业机器人尤为有用，因为工业机器人成本高、使用寿命长，为现有机器人系统添加重力补偿器是降低能耗的经济有效方法。
- 整体优化设计 ：并非所有机构都能在保持相同总体架构的情况下实现平衡，即使找到平衡解决方案，平衡后的机构可能无法满足尺寸约束。在尺寸约束严格的情况下，建议将机器人和重力补偿器的设计阶段集成，以实现整个系统的全局优化，这通常会催生新的机器人架构。

4. 1 - DoF恒力发生器（CFG）分析

1 - DoF CFG是一种简单的平面机构，可用于分析恒力发生器的基本原理。
- 机构描述 ：该机构由一个通过R关节连接到固定框架的连杆组成，关节轴通过运动平面上的点O。一个弹簧（刚度为k，静止长度为l0）分别连接到固定框架0和移动连杆1的点A和B。连杆1具有质量m，质心在点G；一个质量为mc的配重连接在点Gc并随连杆1移动。机构需实现重力平衡，并在连杆1的点P施加恒定力F。
- 坐标系与参数定义 ：定义局部坐标系F ′ = (O, x′, y′)，x′轴从O指向G；固定全局坐标系F = (O, x, y)，与F ′原点相同但方向恒定。连杆1质心在局部坐标系中的位置向量为c′ = (G - O) = [c, 0]T ，配重的位置向量为c′c = (Gc - O)，弹簧连接点的位置向量分别为s1 = (A - O)和s′2 = (B - O)。恒定力F在全局坐标系中的分量Fx = F cos(γ )和Fy = F sin(γ )不变，但其作用点和作用线随点P绕O旋转而变化。
- 势能分析
- 力F的势能 ：V f = F · p
- 重力势能 ：Vg = mg(c · ey) + mcg(cc · ey)，其中ey = [0, 1]T
- 弹性势能 ：Ve = 1/2k (∥A - B∥ - l0)2
- 通过三角函数恒等式化简，可将势能表示为输入变量θ的函数。当l0 = 0时，弹性势能可简化为线性组合形式，从而可实现总势能Vt为常数。
- 平衡条件 ：对总势能Vt关于θ求导并令其为零，得到平衡条件Vt,c = Vt,s = 0。满足这些条件时，机构在所有配置下处于中性平衡，控制角度θ时无需扭矩。重力平衡条件可通过无限多种参数数组a的选择来满足，解空间为12维。
- 特殊情况分析
- 无弹簧（F = 0且k = 0） ：对应通过配重实现重力平衡的机构。得到α = 0，mccc = -mc，即配重Gc与OG线对齐，且位于G相对于O的相反侧。这是最简单的配重设计，常见于起重机和闸门设计中。
- 无配重（F = 0且mc = 0） ：为纯弹簧平衡机构。得到sin(δ) = 0，即φ - ψ为0或π；mcg = ±Ks1s2，根据δ的值确定正负号。这定义了最早的重力平衡弹簧机构。
- 弹簧 - 基于的CFG（F ≠ 0，m = mc = 0） ：通过弹簧和质量可忽略的连杆设计CFG。得到pF = ks1s2和cos(ϵ - δ) = 0，即ϵ = δ ± π/2。这些条件分别对弹簧和连接点的几何位置进行了约束。

5. 2 - DoF恒力发生器（CFG）

2 - DoF CFG可通过扩展1 - DoF CFG的结果来实现，以跟随点P的一般平面位移并施加恒定力F。
- 实现方式一 ：在1 - DoF CFG的点P处连接一个连杆2，连杆2可通过配重或质量重新分布实现质量平衡，满足相应的平衡条件。连杆2在点P施加的力恒定，因此连杆1可再次使用平衡条件进行平衡。这样，得到的2 - DoF串联连杆在静态条件下可作为CFG工作。
- 实现方式二 ：使用弹簧平衡。通过添加辅助连杆，利用平行四边形连杆的纯平移运动特性，将弹簧的“固定”端连接到连杆2，使弹簧的作用如同连接到框架。具体机构如图2所示，定义了各连杆的相关角度和向量，通过分析总势能并对每个角度求导，得到平衡条件。

以下是一个简单的mermaid流程图，展示重力平衡方法的选择思路：

graph LR
    A[开始] --> B{机器人类型}
    B -->|串行机器人| C[考虑重力平衡为标准步骤]
    B -->|并行机器人| D{是否高动态应用}
    D -->|是| E[谨慎考虑重力平衡]
    D -->|否| F[可考虑重力平衡]
    C --> G[根据情况选择平衡方法]
    F --> G
    E --> H[评估利弊后决定]
    G --> I[设计平衡装置]
    H --> I
    I --> J[完成设计]

通过以上对机器人重力平衡和恒力发生器的分析，我们可以看到不同方法在不同场景下的应用和特点。在实际设计机器人时，需要根据具体需求和条件，综合考虑各种因素，选择合适的重力平衡方法和恒力发生器设计，以实现机器人的最佳性能。

平行机器人重力平衡与恒力发生器的解析与应用

6. 2 - DoF CFG的详细分析与计算

在上述提到的第二种实现2 - DoF CFG的方式中，我们进一步详细分析其计算过程。
- 位置向量计算
- 点P的位置向量(p = p (θ_1, θ_4) = (P_4 - O) = p_1 + p_3 + p_4 = p_1 (θ_1) + p_3 + p_4 (θ_4))，其中(p_3)是常量向量，因为连杆3做平移运动且(θ_3)恒定。
- 各连杆的位置向量(p_i = R_ip′ i)，(R_i = \begin{bmatrix}cos(θ_i) & -sin(θ_i) \ sin(θ_i) & cos(θ_i) \end{bmatrix})，(p′_i = p_i\begin{bmatrix}cos(β) \ sin(β) \end{bmatrix})。
- 质心的位置向量由(c_i = [c_i, 0]^T)（根据局部坐标系的选择）和相应的平移向量确定，如(t_1 = 0)，(t_2 = d)，(t_3 = p_1)，(t_4 = p_1 + p_3)。
- 第(i)个弹簧的连接点位置向量(s {i,1} = (A_i - O_i) = s_{i,1}\begin{bmatrix}-sin(φ_i) \ cos(φ_i) \end{bmatrix})，(s_{i,2} = (B_i - O_i) = R_is_{i,2}\begin{bmatrix}cos(ψ_i) \ sin(ψ_i) \end{bmatrix})。
- 势能计算与平衡条件推导
- 总势能(V_t)根据之前的定义，结合(l_{j,0} = 0)和将(e_z)替换为(e_y)进行计算。力(F)的势能(V_0 = V_f)仍由(V_f = F · p)给出。
- 由于(θ_3)恒定，(θ_2)可由(O_2 - P_2)与(O_4 - P_4)平行的条件得出，即(θ_1 + β_1 = θ_2 + β_2)。所以(V_t)是两个独立变量((θ_1)和(θ_4))的函数，(q = [θ_1, θ_4]^T)。
- 对(V_t)关于每个角度求导，得到两个类似于1 - DoF CFG中(V_t)关于(θ)求导后的三角函数表达式。将每个变量项（(sin(θ_i))和(cos(θ_i))）的系数设为零，得到平衡条件：
- (p_1F cos(ϵ_1) + m_2c_2g sin(α) + k_1s_{1,1}s_{1,2} sin(δ_1) + p_1(m_3 + m_4)g sin(β_1) = 0)
- (p_1F sin(ϵ_1) + m_2c_2g cos(α) + m_1c_1g - k_1s_{1,1}s_{1,2} cos(δ_1) + p_1(m_3 + m_4)g cos(β_1) = 0)

以下是一个表格总结2 - DoF CFG的相关参数和计算：
|参数|含义|计算方式|
| ---- | ---- | ---- |
| (p) | 点P的位置向量 | (p (θ_1, θ_4) = p_1 (θ_1) + p_3 + p_4 (θ_4)) |
| (p_i) | 第(i)个连杆的位置向量 | (p_i = R_ip′ i) |
| (R_i) | 旋转矩阵 | (\begin{bmatrix}cos(θ_i) & -sin(θ_i) \ sin(θ_i) & cos(θ_i) \end{bmatrix}) |
| (s {i,1}) | 第(i)个弹簧固定端位置向量 | (s_{i,1}\begin{bmatrix}-sin(φ_i) \ cos(φ_i) \end{bmatrix}) |
| (s_{i,2}) | 第(i)个弹簧移动端位置向量 | (R_is_{i,2}\begin{bmatrix}cos(ψ_i) \ sin(ψ_i) \end{bmatrix}) |
| (V_t) | 总势能 | 综合各势能计算 |
| 平衡条件 | 保证机构平衡 | 上述两个平衡方程 |

7. 恒力发生器的应用拓展

恒力发生器在机器人领域有着广泛的应用拓展，以下列举一些常见的应用场景：
- 机器人装配作业 ：在机器人进行精密装配时，需要在特定点施加恒定的力，以确保零件的正确安装。例如，在电子设备的芯片装配过程中，使用恒力发生器可以保证芯片与电路板之间的接触力恒定，避免因力的波动导致芯片损坏或接触不良。
- 力反馈设备 ：在虚拟现实和遥操作等领域，力反馈设备需要模拟真实的力感。恒力发生器可以为这些设备提供稳定的力输出，增强用户的沉浸感和操作的准确性。
- 材料测试 ：在材料力学性能测试中，需要对样品施加恒定的力来测量其强度和变形特性。恒力发生器可以精确控制施加的力，提高测试结果的准确性和可靠性。

8. 不同平衡方法对比

为了更清晰地了解不同重力平衡方法的特点，我们对重复机构平衡法、弹簧平衡法和质量平衡法进行对比，如下表所示：
|平衡方法|优点|缺点|适用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|重复机构平衡法|可实现完全静态和动态平衡，平衡机构设计相对直接|显著增加系统成本和复杂性，在复杂机器人系统中使用受限|简单连杆系统，如压力机、内燃机等|
|弹簧平衡法|对振动力无影响，对惯性影响小，适用于高速运动机构|会影响关节反作用力，设计参数较多|高速运动的平衡机构|
|质量平衡法|设计相对简单|在高动态条件下增加惯性效应，影响性能|低动态条件下的机器人系统|

9. 设计注意事项与技巧

在设计机器人重力平衡系统和恒力发生器时，需要注意以下事项和掌握一些技巧：
- 参数优化 ：无论是弹簧的刚度、长度，还是配重的质量和位置，都需要进行优化设计。可以通过建立数学模型，使用优化算法来寻找最优的参数组合，以满足机器人的性能要求。
- 尺寸约束 ：在设计过程中，要充分考虑机器人的尺寸约束。如果尺寸限制严格，可能需要采用整体优化设计的方法，将机器人和平衡装置的设计阶段集成，避免平衡后的机构超出尺寸限制。
- 动态性能评估 ：对于高动态应用的机器人，要对平衡后的动态性能进行评估。可以通过仿真分析等手段，预测平衡装置对机器人运动的影响，确保在高动态条件下机器人仍能保持良好的性能。

以下是一个mermaid流程图，展示设计机器人重力平衡系统的主要步骤：

graph LR
    A[确定机器人需求] --> B{选择平衡方法}
    B -->|重复机构平衡法| C[设计重复机构]
    B -->|弹簧平衡法| D[确定弹簧参数]
    B -->|质量平衡法| E[计算配重参数]
    C --> F[优化设计]
    D --> F
    E --> F
    F --> G{是否满足尺寸和性能要求}
    G -->|是| H[完成设计]
    G -->|否| I[调整参数]
    I --> F

综上所述，机器人重力平衡和恒力发生器的设计是一个复杂而关键的过程。通过深入理解不同平衡方法和恒力发生器的原理、特点及应用场景，结合设计注意事项和技巧，我们能够为机器人系统选择合适的解决方案，提高机器人的性能和可靠性，满足各种实际应用的需求。在未来的机器人设计中，随着技术的不断发展，重力平衡和恒力发生器的设计也将不断创新和完善。