20、恒力发生器在并联机器人重力平衡中的应用

恒力发生器在并联机器人重力平衡中的应用

1. 2自由度恒力发生器（2 - DoF CFG）

在2自由度恒力发生器的设计中，有以下重要的方程和特性：
- 约束方程 ：
- (p_4F \cos(\epsilon_4) + k_2s_{4,1}s_{4,2} \sin(\delta_4) = 0)
- (p_4F \sin(\epsilon_4) + m_4c_4g - k_2s_{4,1}s_{4,2} \cos(\delta_4) = 0)
其中，(\alpha = \beta_1 - \beta_2)，(\delta_i = \varphi_i - \psi_i)（(i = 1, 4)），(\epsilon_i = \gamma - \beta_i)（(i = 1, 4)）。
- 方程特点 ：这些约束方程与其他相关方程有相似之处。方程(44)和(45)类似于单自由度恒力发生器的方程，只是没有配重项（因为其质量已与第四连杆在(G_4)处的质量合并）。方程(42)和(43)与其他方程也相似，可通过具有特定元素的单自由度弹簧平衡恒力发生器的方程得到，这些元素包括：
- 质量为(m_2)的配重：由于连杆2和连杆1具有恒定的传动比，它们的势能项可以组合在一起，但它们相对于(O_1)和(O_2)处的旋转关节的角位置相差一个恒定的角度(\alpha)。
- 在点(P)处施加与(x)轴成(\gamma)角的恒定力(F)：施加在连杆4上的力会传递到连杆1。
- 在点(P)处再次施加与(x)轴成(\gamma)角的恒定力(g(m_3 + m_4)e_y)：这是连杆1为平衡连杆3和连杆4的重量而施加的向上的力。
- 约束解耦 ：方程(42)到(45)的约束是解耦的，前两个方程仅适用于连杆1，后两个方程适用于连杆4。而且，总势能(V_t(\theta_1, \theta_4))中的所有项仅取决于两个可变角度中的一个。这是由于几何约束方程(37)，它大大简化了分析并允许找到精确解。通常，平行四边形架构在这些设计中经常被采用，并且连杆通常设计得细长而紧凑，因此在许多情况下，点(O_i)、(G_i)和(P_i)是共线的。需要注意的是，这里描述的设计并不是实现2自由度恒力发生器的唯一可能方案。

2. 3自由度恒力发生器（3 - DoF CFG）

2.1 基于平行四边形架构的3 - DoF CFG

这种设计可以从一个平面机构演变而来。该平面机构中，重力加速度向量(g)包含在运动平面内，其静态平衡不会因机构（包括框架0）绕平面内的垂直轴旋转而改变。一种有利的设计如图3所示，如果框架0上的点(A_1)、(O_1)和(O_2)在同一垂直轴上共线，则框架0可以保持固定。相对于图2的设计，只需添加一个额外的旋转关节（(R)关节）即可实现空间运动，(A_1)处的关节变为球形关节（(S)关节），而机构的其余部分保持不变。如果满足相关约束条件，总势能(V_t(q))在配置(q = [\theta_1, \theta_4, \theta_z]^T)变化时保持恒定，因此该机构是平衡的，并在点(P)处施加恒定力。类似的设计在文献中也有出现，例如在一些重力平衡的6自由度空间并联运动机构（PKM）的腿部架构设计中，每个腿部是类似于这里考虑的平行四边形连杆机构，但垂直的平面外旋转轴是在连杆3和连杆4之间引入的。还可以将多个这样的连杆机构串联起来，得到一个串联机构。

2.2 另一种3 - DoF CFG

这是一种在运动过程中实现重力平衡的3自由度装置，允许的运动包括绕U形关节的两个轴的旋转（在图4中的点(O)处相交）以及连杆2相对于连杆1沿平行于(P - O)的棱柱关节（(P)关节）轴的平移。为了在远端连杆2的点(P)处施加恒定力(F)，由于机构包含一个(P)关节，不能简单地通过重新分配连杆质量或附加固定配重的方式来实现平衡，因此该设计的独特之处在于添加了一个可移动的配重3，它由控制从(O)到(P)距离的同一执行器驱动。为此，采用了具有恒定传动比(\tau)的传动装置，所以如果连杆2相对于连杆1以速度(\dot{\rho})移动，配重3将以速度(\tau\dot{\rho})移动。每个连杆都有质量(m_i)和质心(G_i)，并且在连杆1和固定框架之间连接了多个零自由长度弹簧（ZFLS）。
- 位置向量 ：在框架(F’)中，点(G_i)的位置向量可以直接表示为输入变量(\rho)的函数：
- (c’ 1 = e {z}c’ {1,z} + c’ {1,\perp})
- (c’ 2 = e {z}(c’ {2,z,0} + \rho) + c’ {2,\perp})
- (c’ 3 = -e {z}(c’ {3,z,0} + \tau\rho) + c’ {3,\perp})
- 全局质心位置向量 ：根据上述位置向量，可以得到机构在移动框架中的全局质心位置向量：
(c’ = e_{z}[Mc’ {z,0} + (m_2 - m_3\tau)\rho] + \sum {j = 1}^{3}m_jc’ {j,\perp})
其中，(M = m_1 + m_2 + m_3)是总腿部质量，(c’ {z,0} = \frac{m_1c’ {1,z} + m_2c’ {2,z,0} - m_3c’ {3,z,0}}{M})是一个常数。
- 总势能分量 ：总势能(V_t)的各个分量可以表示为：
- (V_e = \frac{1}{2}\sum {j = 1}^{n_s}k_j\parallel s_{j,1} - Rs’ {j,2}\parallel^2 = \frac{1}{2}\sum {j = 1}^{n_s}k_j(\parallel s_{j,1}\parallel^2 + \parallel s’ {j,2}\parallel^2) - \sum {j = 1}^{n_s}k_js_{j,1}^TRs’ {j,2} = \tilde{V})（常数）
- (V_g = M(Rc’ \cdot g) = [(Mc’ {z,0} + (m_2 - m_3\tau)\rho)Re_{z} + MRc’ {\perp}] \cdot g)
- (V_f = F \cdot (Rp’) = (p’_0 + \rho)F \cdot (Re {z}))
对(V_t)关于(\rho)求导并使其对于所有的(\varphi_1)和(\varphi_2)值都为常数，可以得到(F = (m_3\tau - m_2)g = m_fg)，这表明腿部产生的恒定力必然是垂直的。如果(F)为正（即向上），则需要一个质量为(m_3 = \frac{m_2 + m_f}{\tau} > 0)的配重。此外，总势能(V_t)等效于一个通过U形关节连接到框架并连接到多个ZFLS的单连杆（具有固定质心(C)）的势能。

3. 其他恒力发生器机制

除了上述的2自由度和3自由度恒力发生器设计外，还有许多其他的恒力发生器设计方案。
- 传统与柔顺机制分类 ：根据是否基于传统机制或柔顺机制，恒力发生器的设计可以进行高层分类。柔顺机制在设计时考虑了连杆的变形，通常具有整体式设计，即由一个单一的连杆通过其自身的内部弹性变形来实现运动，传统的关节被挠性关节所取代，这些挠性关节是为了实现可控变形而设计的机构区域。由于传统恒力发生器的性能通常受到摩擦和间隙的限制，柔顺机制成为一种有趣的设计选择，因为它们几乎可以完全消除这些问题。而且，一些柔顺机制的设计还避免了使用零自由长度弹簧的要求。
- 常见应用 ：恒力发生器有多种常见应用：
- 物体操作 ：在生物医学等领域，用于操作小型、易碎的物体。由于恒力发生器在不使用力控制反馈的情况下，能够为抓取物体的机构提供恒定的力，从而为物体提供过载保护。
- 人机交互 ：当机器人需要与人类操作员安全地密切接触时，恒力发生器可以提供更友好的交互体验。
- 振动隔离 ：作为振动隔离器，当用于悬挂振动负载时，它们可以向基座传递恒定的力。由于恒力发生器可以被视为零刚度装置（(F)不随(\Delta)的增加而变化），而共振频率(\omega_n)与刚度(k)的平方根成正比，因此这类机构的共振频率极低，能够在远离共振频率的情况下良好工作。例如，LaCoste提出的一种机制被设计用于实现具有零共振频率的地震仪。
- 特殊设计 ：
- 利用屈曲行为 ：通过利用柔性梁的后屈曲行为，可以获得特殊的零刚度机制设计。在屈曲模式下，系统在恒定负载下会发生大位移，虽然这通常被视为结构失效的风险，但屈曲现象已成功应用于振动隔离器和零刚度系统的设计中。
- 部分弹性变形设计 ：还有一类恒力发生器，其中弹性元件被设计成只有一部分（具有恒定体积）发生弹性变形，使得弹性力不随变形的增加而变化，而是保持恒定。例如“Neg’ator”（或恒力）弹簧以及木工卷尺中常用的带状弹簧。其他具有恒定材料变形量的系统也有被提出，这些设计可以通过将恒力弹簧连接到需要平衡重力的质量上来应用于重力平衡。

4. 设计注意事项

在恒力发生器的设计过程中，有许多方面需要注意：
- 零自由长度弹簧（ZFLS） ：大多数基于弹簧的重力平衡机制需要使用零自由长度弹簧来实现完美平衡。虽然拉伸弹簧可以被制造为零自由长度弹簧，但这会在弹簧中引入显著的应力，可能降低其疲劳寿命，并且高预紧力可能导致弹簧失稳。因此，人们提出了几种通过将普通弹簧与其他机械元件组合来获得零自由长度弹簧的设计方案，例如引入电缆和导向装置（如滑轮），或者将具有负自由长度和正自由长度的弹性元件串联起来。此外，也有研究表明，使用传统的非零自由长度弹簧也有可能实现精确的重力平衡，但对于单自由度系统，可能需要使用多个弹簧，并且在设计时需要权衡使用普通弹簧的优势和设计复杂性。
- 关节选择 ：一旦一个机构实现了重力平衡，其平衡状态不受选择的驱动关节的影响。在并联运动机构的设计中，由于关节数量通常远多于需要控制的自由度数量，设计师可以独立于平衡设计考虑来选择哪些关节应该被驱动，哪些应该是被动的。
- 质量平衡与弹簧选择 ：质量平衡通常通过添加配重实现，配重的质量可以根据具体问题通过相关条件确定，并且可以在一定范围内自由选择。而使用弹簧时，设计师通常需要从供应商提供的离散目录中选择弹簧刚度，因此弹簧刚度的选择是有限的。在设计时，建议先从目录中选择一个合适的弹簧刚度，然后再根据约束方程自由选择其他设计参数。
- 减少平衡元件反应 ：为了减少平衡元件传递到连杆的反应（如侧向负载和扭矩），这些元件应尽可能靠近包含需要平衡的重力的垂直平面。例如，在图1所示的机构中，如果使用零自由长度弹簧，将弹簧的连接点沿垂直于视图平面的方向移动不会影响平衡条件，但需要使用球形关节（(S)关节）来连接弹簧端部与连杆。虽然使用平面外弹簧会引入侧向负载并增加弹簧存储的能量，但它可以提供更大的设计灵活性，并减少平面系统中弹簧与连杆干涉的风险。
- 紧凑性问题 ：大多数重力平衡系统存在紧凑性不足的问题。添加大量的配重而不显著增加连杆的惯性是复杂的，通常需要使用大型配重，对于平面机构，这些配重还会显著突出于运动平面之外。连接到框架的弹簧会降低用户与系统交互的可及性，因此在这种情况下，最好通过一些不直接可及的机构（如家用器具中用于平衡门的机构）来重新路由弹簧力的传递系统，但这会增加设计的复杂性。此外，弹簧还会增加与其他连杆或环境干涉的风险，因此应避免弹簧跨越不直接通过关节连接的连杆的长“跨度”。
- 动态性能 ：由于恒力发生器本质上具有零或准零刚度，其共振频率接近零，因此重力平衡系统在需要交替进行高动态和低动态阶段的应用中不太常用，因为在机构运动开始或停止时，可能会引入低频激励，从而导致振动。此外，重力平衡元件往往会增加连杆的惯性，在某些应用中会恶化动态性能，并且当惯性力占主导地位时，平衡重力的优势就不那么明显了。
- 安全性 ：对于所有机器人，特别是那些需要与用户接触（如医疗或康复机器人）或在工业环境中工作的机器人，故障安全是一个普遍要求。重力平衡机器人本质上更安全，因为在失去控制信号或电源时，它们不会像普通机器人那样出现不受控制的运动，并且具有较低的能耗。然而，如果重力平衡机器人的末端执行器负载或连杆重量发生变化，它通常将不再处于中性平衡状态，而是会移动到最近的稳定平衡配置。质量平衡的机器人会移动到具有最低势能的配置，而弹簧平衡的机构会在不同负载下产生弹性位移以达到平衡，并且位移与负载变化成正比。从安全角度来看，弹簧平衡的情况似乎更可取，但安装和维护用于平衡大质量的高能量存储弹簧会带来安全问题，因为如果处理不当，这些弹簧可能会剧烈释放能量。
- 性能退化因素 ：理论上平衡的机构在实际应用中的性能会由于各种误差源而下降，导致实际平衡并不精确。这些误差源包括：
- 制造公差 ：实际机构的参数与理论参数会存在差异，因为精确的中性平衡是稳定性和不稳定性之间的“边界”条件，在实际中很难实现。
- 弹簧非线性 ：传统弹簧的力 - 位移特性通常设计为线性关系，但实际上总会与理想的线性行为存在小的偏差。
- 辅助构件 ：为了实现机构的平衡，通常需要添加辅助构件。这些构件通常被设计得尽可能轻，以最小化增加的质量，但在计算总重量时往往被忽略，从而引入小的平衡误差。
- 弹簧质量 ：弹簧的质量通常在设计中被忽略，但实际上它可能会改变全局平衡。虽然弹簧质量相对较小，但在绝对数值上可能相当大。一些研究考虑了每个弹簧的质量，通常通过在弹簧的每个末端引入一个具有总质量一半的点质量来实现，并将这些质量添加到与弹簧连接的连杆质量中。如果可能的话，最好将弹簧的一端固定在框架上，另一端连接到移动连杆，这样可以将弹簧质量的一半视为固定质量，从而不影响平衡。更好的方法是采用从弹簧到连杆的力传递系统（如电缆和滑轮），这样可以减少惯性效应，特别是当弹簧处于水平位置时。
- 电缆和滑轮误差 ：在设计中引入电缆来传递弹簧力时，通常会与滑轮、凸轮、游丝或其他电缆导向系统一起使用。这些元件在机械模型中通常采用一些简化近似，例如假设电缆与滑轮的接触点是固定的出口点，但实际上该点会根据电缆的方向而变化。这种误差可以通过校正接触轮廓来补偿，但会显著复杂化设计方程。也有一些巧妙的机制被提出，通过让电缆绕过多个滑轮，使滑轮的包角相互补偿。
- 摩擦影响 ：由于摩擦是一种非保守力，它不能包含在总势能方程中。然而，在实际应用中，所有关节都会存在摩擦。当机器人需要移动时，摩擦的影响是不利的，因为系统不再是无能量损耗的，即使在准静态条件下，执行器也需要补偿因摩擦而耗散的能量，从而增加了能量需求，特别是当机器人需要频繁移动时。但同时，摩擦也有助于补偿由于上述误差源导致的小不平衡。

以下是一个简单的mermaid流程图，展示恒力发生器设计的主要考虑因素：

graph LR
    A[恒力发生器设计] --> B[自由度选择]
    A --> C[机制类型]
    A --> D[应用场景]
    B --> B1[2 - DoF CFG]
    B --> B2[3 - DoF CFG]
    C --> C1[传统机制]
    C --> C2[柔顺机制]
    D --> D1[物体操作]
    D --> D2[人机交互]
    D --> D3[振动隔离]

序号	设计考虑因素	具体内容
1	零自由长度弹簧	多种实现方式及优缺点
2	关节选择	与平衡状态无关，可独立设计
3	质量平衡与弹簧选择	配重与弹簧刚度的选择方法
4	减少平衡元件反应	元件位置对平衡和负载的影响
5	紧凑性问题	配重和弹簧对系统紧凑性的影响
6	动态性能	零刚度特性对动态应用的影响
7	安全性	重力平衡对故障安全的作用
8	性能退化因素	多种误差源对平衡性能的影响

恒力发生器在并联机器人重力平衡中的应用（续）

4. 设计注意事项（续）

上半部分已经介绍了恒力发生器设计中的一些关键注意事项，接下来继续深入探讨其他方面。

• 弹簧的选择与使用 ：在弹簧的选用上，除了前面提到的零自由长度弹簧和传统弹簧的区别与应用外，弹簧的刚度选择也至关重要。弹簧刚度会直接影响恒力发生器的性能和平衡效果。在设计时，需要根据具体的机构要求和负载情况，从供应商提供的离散目录中谨慎选择合适的弹簧刚度。确定弹簧刚度后，再依据约束方程来自由调整其他设计参数，如连杆的尺寸等。例如，在一个特定的重力平衡机构中，根据计算得出需要一定范围的弹簧刚度来实现平衡，此时就需要从市场上现有的弹簧规格中挑选最接近且合适的弹簧。
• 空间布局与干涉问题 ：在设计恒力发生器时，空间布局是一个需要重点关注的方面。由于机构中存在多个连杆、弹簧、配重以及各种传动部件，它们之间很容易发生干涉。特别是对于一些复杂的多自由度机构，合理的空间布局可以避免部件之间的碰撞和摩擦，提高机构的稳定性和可靠性。例如，在设计包含多个连杆和弹簧的机构时，要仔细规划每个部件的位置和运动轨迹，确保它们在运动过程中不会相互干扰。另外，对于连接到框架的弹簧，要考虑其对用户与系统交互的影响。如果弹簧的位置影响了用户的操作空间，就需要通过一些不直接可及的机构来重新路由弹簧力的传递系统，如采用类似家用器具中用于平衡门的机构，但这样做会增加设计的复杂性。
• 动态特性的优化 ：由于恒力发生器本质上具有零或准零刚度，其共振频率接近零，这使得重力平衡系统在动态性能方面存在一定的局限性。在需要交替进行高动态和低动态阶段的应用中，重力平衡系统可能会因为低频激励而产生振动。为了优化动态性能，可以采取以下措施：一是尽量减少重力平衡元件对连杆惯性的增加，例如采用轻质材料制作配重或优化配重的形状和位置；二是对机构的运动轨迹进行优化设计，避免突然的加速和减速，减少低频激励的产生；三是可以引入一些阻尼元件来抑制振动，提高系统的稳定性。

5. 设计流程总结

为了更清晰地展示恒力发生器的设计过程，下面给出一个设计流程总结：
1. 需求分析 ：明确恒力发生器的应用场景和具体要求，如自由度数量、负载大小、工作环境等。
2. 机制选择 ：根据需求分析的结果，选择合适的恒力发生器机制，如传统机制或柔顺机制，2自由度或3自由度设计等。
3. 参数计算 ：根据所选机制，计算相关的参数，如连杆的尺寸、配重的质量、弹簧的刚度等。在计算过程中，要考虑各种约束条件和平衡方程。
4. 空间布局设计 ：对机构中的各个部件进行合理的空间布局，避免干涉问题，同时要考虑用户与系统的交互性。
5. 动态性能优化 ：针对重力平衡系统可能存在的动态性能问题，采取相应的优化措施，如减少惯性、优化运动轨迹、引入阻尼元件等。
6. 误差分析与补偿 ：考虑实际应用中可能存在的各种误差源，如制造公差、弹簧非线性、摩擦等，对设计进行误差分析，并采取相应的补偿措施。
7. 设计验证与改进 ：通过仿真或实验对设计进行验证，根据验证结果对设计进行改进和优化。

以下是一个mermaid流程图，展示恒力发生器的设计流程：

graph LR
    A[需求分析] --> B[机制选择]
    B --> C[参数计算]
    C --> D[空间布局设计]
    D --> E[动态性能优化]
    E --> F[误差分析与补偿]
    F --> G[设计验证与改进]
    G -->|不满意| C
    G -->|满意| H[设计完成]

6. 案例分析

为了更好地理解恒力发生器在实际中的应用和设计过程，下面给出一个简单的案例分析。

假设我们要设计一个用于生物医学领域的恒力发生器，用于操作小型、易碎的物体。根据需求分析，我们确定需要一个2自由度的恒力发生器，负载较小，工作环境较为稳定。

1. 机制选择 ：考虑到操作的精确性和对摩擦、间隙的要求，我们选择柔顺机制。柔顺机制可以减少摩擦和间隙的影响，提高操作的精度。
2. 参数计算 ：根据负载大小和机构的运动要求，计算连杆的尺寸、配重的质量和弹簧的刚度。例如，通过平衡方程计算出需要的弹簧刚度，然后从市场上选择合适的弹簧。
3. 空间布局设计 ：由于工作环境的限制，我们需要对机构进行紧凑的空间布局。将弹簧和连杆合理安排，避免干涉，同时要考虑操作的便利性。
4. 动态性能优化 ：为了减少振动对操作的影响，我们采用轻质材料制作连杆和配重，减少惯性。同时，对运动轨迹进行优化设计，避免突然的加速和减速。
5. 误差分析与补偿 ：考虑到制造公差、弹簧非线性等误差源，我们在设计中预留一定的调整空间，以便在实际应用中进行补偿。
6. 设计验证与改进 ：通过仿真和实验对设计进行验证，根据验证结果对设计进行改进和优化。例如，如果发现机构在某些情况下存在振动问题，我们可以进一步调整弹簧的刚度或引入阻尼元件来解决。

设计步骤	具体操作
需求分析	明确用于生物医学领域，操作小型、易碎物体，2自由度，负载小，环境稳定
机制选择	选择柔顺机制，减少摩擦和间隙影响
参数计算	根据负载和运动要求，计算连杆尺寸、配重质量和弹簧刚度
空间布局设计	进行紧凑布局，避免干涉，考虑操作便利性
动态性能优化	采用轻质材料，优化运动轨迹，减少振动
误差分析与补偿	考虑误差源，预留调整空间
设计验证与改进	通过仿真和实验验证，根据结果改进设计

通过这个案例分析，我们可以看到恒力发生器的设计是一个综合考虑多个因素的过程，需要根据具体的应用场景和要求进行合理的设计和优化。

综上所述，恒力发生器在并联机器人重力平衡中具有重要的应用价值，但在设计过程中需要考虑多个方面的因素，包括机制选择、参数计算、空间布局、动态性能优化、误差分析等。通过合理的设计和优化，可以提高恒力发生器的性能和可靠性，满足不同应用场景的需求。