51、量子系统中的源编码及相关数学知识解析

量子系统中的源编码及相关数学知识解析

1. 量子源编码相关不等式推导

在量子源编码中，有一系列重要的不等式推导。首先，通过一系列的变换和性质得到：
[
\log |\tilde{\Lambda}^{(n)} r| \geq E_X I {\rho^{(n)’} X}(A : K) = E_X D(\rho^{(n)’}_X\parallel Tr_K \rho^{(n)’}_X \otimes Tr_A \rho^{(n)’}_X) = E_X D(\rho^{(n)’}_X\parallel Tr_B \rho^{\otimes n} \otimes Tr_A \rho^{(n)’}_X)
]
这里的不等式推导基于量子相对熵的单调性和联合凸性。具体来说，根据量子相对熵的单调性（5.36）有：
[
E_X D(\rho^{(n)’}_X\parallel Tr_B \rho^{\otimes n} \otimes Tr_A \rho^{(n)’}_X) \geq E_X D(\nu_X(\rho^{(n)’}_X)\parallel Tr_B \rho^{\otimes n} \otimes \nu_X(Tr_A \rho^{(n)’}_X))
]
再根据联合凸性（5.38）得到：
[
E_X D(\nu_X(\rho^{(n)’}_X)\parallel Tr_B \rho^{\otimes n} \otimes \nu_X(Tr_A \rho^{(n)’}_X)) \geq D(E_X\nu_X(\rho^{(n)’}_X)\parallel Tr_B \rho^{\otimes n}