19、量子系统中的状态演化与保迹完全正映射

量子系统中的状态演化与保迹完全正映射

1. 量子系统状态演化描述

在量子系统里，状态演化的讨论可拓展到更普遍的物理系统，即状态为一般算子代数对偶的情形，像 C∗ -代数、冯·诺伊曼代数和 CCR 代数。在算子代数领域，动力学由满足定理 5.3 条件的映射 κ 给出。不过，这种算子代数的讨论虽涵盖无限维情形，却未包含输入系统严格小于系统 (H_B \otimes H_E) 的情况。在此情形下，系统 (H_B \otimes H_E) 的状态为 (U_{\kappa}(\rho \otimes \rho_0)U_{\kappa}^*)，它不可逆。所以，若对满足定理 5.3 条件的动力学 κ 的分析仅涵盖可逆状态，就无法拓展到一般动力学 κ 的情形，这是运用算子代数分析时的一个盲点。

1.1 相关练习

• 练习 5.1 ：利用 (Y = I) 的 (5.2) 式，证明 κ 保迹当且仅当 (κ^*) 保单位元。
• 练习 5.2 ：利用 (\begin{pmatrix} κ^ (X^ X) & κ^ (X)^ \ κ^*(X) & I \end{pmatrix} \geq 0) 证明 (5.3) 式。
• 练习 5.3 ：利用定理 5.1 证明推论 5.1。
• 练习 5.4 ：设 ({F_i}) 是保迹完全正（TP - CP）映射 κ 的蔡 - 克劳斯表示，(u_{i,j}) 是酉矩阵。证明 (F_i’