19、量子系统中最可能路径的研究与应用

量子系统中最可能路径的研究与应用

1. 引言

在量子力学的研究中，我们已经了解到无条件主方程描述了时间连续且平滑的量子态演化，其动力学是确定性的，但代表的是与环境耦合系统的系综平均量子动力学。而量子轨迹则赋予了时间连续、随机的量子态，其轨迹依赖于有噪声的测量记录，具有扩散性。在这两者之间，存在一种中间描述——最可能路径，它在量子动力学的研究中具有重要意义。

2. 最可能路径的基本概念

最可能路径是一条通过希尔伯特空间的平滑、确定性路径，类似于无条件主方程的解，但保留了量子轨迹的部分条件性，因为可以设置初始和最终边界条件。它使第5.5节中的作用泛函达到极值，因此是具有优化概率的可能量子轨迹。以最可能路径为中心的固定宽度小管道，比其他任何选择都能捕获更多公平采样的量子轨迹。

3. 寻找最可能路径的方法

随机路径积分公式为寻找最可能路径提供了一种优雅的方式。我们可以应用变分原理来找到最可能路径的运动方程，类似于从哈密顿原理找到哈密顿运动方程，或从费马原理找到光线光学方程。最可能路径的原理是在量子态扰动关系和量子态边界条件的约束下，优化量子轨迹的概率密度，即 $\delta S = 0$，随机作用的变分为零。

具体步骤如下：
1. 设 $q(t) = q_{ml}(t) + \delta q(t)$，其中 $q_{ml}$ 为最可能路径，满足边界条件，$\delta q$ 是围绕该路径的变化。对正则动量 $p$ 和读出 $r$ 做类似定义。
2. 将作用 $S$ 分解为动态路径和静态部分：
- $S = \int_{0}^{t} dt’[-ip\dot{q} + H[q, p, r]]$，这