17、经典 - 量子信道编码：理论、历史与练习解析

经典 - 量子信道编码：理论、历史与练习解析

1. 不等式证明与信道容量

在经典 - 量子信道编码中，有一个重要的不等式需要证明：$C_c(W_1, \ldots, W_M) \leq \sup_{p} \min_{1\leq i\leq M} I(p, W_i)$。证明步骤如下：
- 步骤 (a) ：对于$X^n$上的任意分布$p^{(n)}$，要证明存在分布$p$，使得$nI(p, W_i) \geq I(p^{(n)}, (W_i)^{(n)}$，其中$i = 1, \ldots, M$。这一步可以从 (4.3) 和 (4.5) 得出。
- 步骤 (b) ：利用 Fano 不等式 (2.35) 来证明所需的不等式。

2. 伪经典信道

当测量设备中不允许存在量子相关性时，我们再次探讨经典 - 量子信道的容量。之前已经证明，只要测量设备中不使用量子相关性，即使在编码中允许反馈和自适应解码，经典 - 量子信道容量也不会提高。也就是说，当对每个系统进行单次传输的最优测量时，可以达到信道容量。

那么，什么时候使用个体测量的经典 - 量子信道容量$\tilde{C}_c(W)$等于使用测量设备中量子相关性的信道容量$C_c(W)$呢？下面的定理给出了答案。

定理 4.4 ：假设对于任意$x, x’ \in X$，有$\text{Tr} W_xW_{x’} \neq 0$。如果$X$是紧致的，那么关于经典 - 量子信道$W$的以下三个条件是等价的：
1. 存在分布$p \in P_f(X)$，使得对于任