36、经典与量子典型性：理论与应用解析

经典与量子典型性：理论与应用解析

1. 经典典型性概述

在信息理论中，我们主要关注信息传输或压缩过程中的错误概率。因此，我们更在意大概率出现的序列，而非所有序列。这种思维方式直接引出了典型序列的定义，以及一种简单的信息压缩方案：仅保留典型序列，在渐近极限下，该方案的性能是最优的。

对于所有 $\delta’ > 0$，$\varepsilon’ \in(0, 1/2)$ 以及足够大的 $n$（其中 $\delta’ = 3\delta + 1/n$），存在 $(n, C(N) - \delta’, 2\varepsilon’)$ 信道编码。并且，我们的证明并不依赖于所采用的条件典型性定义是弱还是强。

2. 量子典型性的引入

量子信息理论的渐近研究中，量子典型性的概念至关重要。虽然其直觉与经典典型序列相似，但经典与量子情况存在重要差异。

在量子香农理论中，目前已知的所有信息处理任务中，本章的工具对于证明编码定理的可达性部分都很有帮助。不过，将经典典型序列的概念引入量子信息渐近理论并非一帆风顺。例如，量子信息源的类比是什么？如何判断量子信息源发出的状态是否为典型状态？在经典情况下，检查序列中的所有比特即可确定典型性，但在量子领域，“查看量子比特”相当于进行测量，这会破坏后续量子信息处理任务中需要保留的微妙叠加态。

3. 量子典型性的构建思路

为了避免上述问题，构建有用的量子典型性概念，我们可以通过构造一个只有两个结果的不完全测量来温和地询问量子系统。如果一个结果发生的概率很高，那么得知这个结果后，我们对状态的了解并不多，因此可以预期这种询问不会对状态造成太大干扰。例如，对于“状态是否典型？”