18、数据的线性模型分析与多重比较方法

数据的线性模型分析与多重比较方法

1. 线性模型中的参数关系

在回归模型中，我们有 $y_{2j} = \beta_0 + \beta_1 + \epsilon_{2j}$。为使模型等价，可得 $\mu_2 = \beta_0 + \beta_1$，又因为 $\beta_0 = \mu_1$，所以 $\beta_1 = \mu_1 - \mu_2$。这表明 $\beta_1$ 量化了因子第一水平和第二水平之间的差异。同理，当 $i = 3$ 时，$\beta_2 = \mu_1 - \mu_3$。一般情况下：
- $\beta_0 = \mu_1$，即截距 $\beta_0$ 等于因子基础（或第一）水平的均值。
- $\beta_i = \mu_1 - \mu_i$，其中 $i = 2, \cdots, (k - 1)$。

不过，回归模型仅展示了每个组与第一组均值之间的差异，无法直接体现其他组间的差异。这带来两个结果：一是不能仅通过回归系数的 P 值就判定组间无差异；二是若要考察所有组对之间的差异，需额外做些工作。我们可借助方差分析（ANOVA）表来解决第一个问题，下面通过一个例子详细说明。

2. 示例：同一窗户中 RI 的差异均值检验

选取了 Bennett 数据中的三个面板，每个面板有 10 个 RI 测量值，目的是检验这三个位置的真实平均 RI 是否相同，即：
- 原假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$。
- 备择假设 $H_1: \mu_i \neq \mu_j$，其中 $i \neq j$。

需要注意的是，备择假设表示“存在某些”而非“所有”组不同，意味着不必所