hdu2866 Special Prime 数论+公式推导

最新推荐文章于 2021-03-12 16:25:19 发布

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本文探讨了一个数学问题，通过将原式n^2*(n+p)=m^3化简并分析，发现当p为素数时，n和p的关系遵循特定的公式p=3*a*a+3*a+1。文章提供了C++代码实现，用于计算在给定范围内满足条件的素数数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-2866

由原式化简可得 n^2 * (n+p) = m^3 ，

若 n^2 和 n+p 间有公共素因子 p ，
那么 n+p = k * p ，
即 n = p * (k-1) ，
带回原式得到 p^3 * (k-1)^2 * k = m^3 ，
易证 (k-1)^2 * k 不能用某一个正整数的三次幂表示，所以此情况不成立。

由此可以假设 n = a3 ，n+p = b3 ，
相减得到 p = b3 - a3 ，
根据立方差公式有 p = (b-a) * (a2 + ab + b2) ，
由于 p 是素数，(a2 + ab + b2) != 1 ，所以 b-a = 1，
带入 b 化简可得 p = 3 * a * a + 3 * a + 1 ，
暴力枚举 a ，算出 p ，判断 p 是否是素数，统计一下就得到答案了。

#include<cstdio>
using namespace std;
int L,ans;
bool prime(int x)
{
    for(int i=2; i*i<=x; i++)
        if(x%i==0) return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&L))
    {
        ans=0;
        for(int i=1; 3*i*i+3*i+1<=L; i++)
        {
            if(prime(3*i*i+3*i+1)) ans++;
        }
        if(ans==0) printf("No Special Prime!\n");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}