42、高阶特征值与拓扑扰动分析

高阶特征值与拓扑扰动分析

在数学和物理领域，对标准拉普拉斯算子高阶特征值的研究具有重要意义。本文将深入探讨高阶特征值的基本估计，以及它们在拓扑扰动下的行为。

1. 高阶特征值的基本估计

1.1 下界估计

我们的目标是推导出标准拉普拉斯算子所有高阶特征值的显式估计。最初由L. Friedlander提出的思路为我们提供了重要的启发。

我们先来猜测哪种度量图能使特征值 $\lambda_j$ 最小。显然，$\lambda_j$ 总是大于或等于 $\lambda_{j - 1}$，以此类推。当不断压低 $\lambda_j$ 时，它会发生退化，直到 $\lambda_j = \lambda_{j - 1} = \cdots = \lambda_2$，且由于基态是非简并的，所以 $\lambda_2 > \lambda_1 = 0$。因此，我们推测 $j$ 阶特征值在 $\lambda_j$ 具有 $j - 1$ 重数且为第一个非平凡特征值的图中取得最小值。

考虑一个具有 $j$ 条边，每条边长为 $\frac{L}{j}$ 的等边星图。该图的第二个特征值具有 $j - 1$ 重简并，且与长度为 $\frac{L}{j}$ 的狄利克雷 - 诺伊曼区间的基态相同，即：
$\lambda_2 = \cdots = \lambda_j = (\frac{j\pi}{2L})^2$
我们猜测 $(\frac{j\pi}{2L})^2$ 为总长度为 $L$ 的图上 $\lambda_j$ 提供了最佳下界估计。虽然这只是猜测，但令人惊讶的是，它给出了当前问题的正确答案。

下面是具体的定理及证明：