56、线性代数在计算机视觉中的应用：矩阵微积分与常见问题解析

线性代数在计算机视觉中的应用：矩阵微积分与常见问题解析

在计算机视觉领域，线性代数是解决众多问题的基础工具。本文将深入探讨矩阵微积分以及一些常见的线性代数问题，包括最小二乘法问题、主方向/最小方向问题和正交普氏问题等，并介绍一些用于求大型矩阵逆的技巧。

1. 矩阵微积分

在处理复合矩阵表达式时，我们常常需要求导数。函数的导数根据其输入和输出的类型不同而有不同的形式。

• 向量输入标量输出函数的导数 ：若函数 (f[a]) 以向量为输入并返回标量，则其导数是一个向量 (b)，其中元素 (b_i = \frac{\partial f}{\partial a_i})。
• 矩阵输入标量输出函数的导数 ：对于返回标量的函数 (f[A])，其关于 (M \times N) 矩阵 (A) 的导数是一个 (M \times N) 矩阵 (B)，元素 (b_{ij} = \frac{\partial f}{\partial a_{ij}})。
• 向量输入向量输出函数的导数 ：若函数 (f[a]) 返回向量，则其关于向量 (a) 的导数是一个矩阵 (B)，元素 (b_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial a_j})，其中 (f_i) 是函数 (f[a]) 返回向量的第 (i) 个元素。

以下是一些常用的矩阵导数结果：
| 函数类型 | 导数公式 |
| — | — |
| 线性函数 | (\frac{\partial x^T a}{\pa