19、网格模型与图像去噪：基于马尔可夫随机场的方法

网格模型与图像去噪：基于马尔可夫随机场的方法

1. 网格模型概述

在处理图像时，我们常常需要为每个像素关联一个标签。由于未知量是在像素格上定义的，因此基于网格结构的模型是合适的选择。与之前讨论的链或树结构模型不同，这里的图形模型中每个标签与其四个相邻标签有直接的概率联系，这意味着底层图形模型存在循环，之前的动态规划和信念传播方法不再适用。

网格模型的核心思想是，像素提供的关于关联标签的信息往往是模糊的，但某些标签的空间配置比其他配置更常见。我们的目标是利用这种先验知识来解决标签的模糊性。为此，我们使用成对马尔可夫随机场（MRF）来描述不同标签配置的相对偏好。在某些情况下，使用图割（graph cuts）方法可以对成对MRF进行最大后验（MAP）推断。

1.1 图像去噪应用

图像去噪是网格模型的一个典型应用。在图像去噪中，我们观察到的是一个被损坏的图像，其中一定比例的像素强度根据均匀分布随机改变为另一个值。我们的目标是恢复原始的干净图像。这个问题有两个重要方面：
- 大多数像素未被损坏，因此数据通常能告诉我们应该选择哪个强度值。
- 未损坏的图像主要是平滑的，强度级别之间的变化很少。

基于这些特点，我们的策略是构建一个生成模型，使得MAP解是一个与噪声版本大致相同但更平滑的图像。为了实现这一点，我们需要定义一个有利于平滑性的图像概率分布，这里我们使用离散形式的马尔可夫随机场来完成这个任务。

1.2 马尔可夫随机场

马尔可夫随机场（MRF）由以下几个要素正式确定：
- 一组站点 $\Omega = {1 \ldots N}$，对应于 $N$ 个像素位置。
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