25、马尔可夫随机场（MRF）的最大后验（MAP）推断

马尔可夫随机场（MRF）的最大后验（MAP）推断

1. 二元成对马尔可夫随机场的MAP推断

在二元成对马尔可夫随机场（MRF）中，我们可以利用图结构来进行最大后验（MAP）推断。以简单的一维示例构建图，将源点连接的顶点标记为1，汇点连接的顶点标记为0。我们把合适的一元成本附加到源点/汇点与像素顶点之间的链接上，成对成本则附加到像素之间的水平链接上。这种安排确保了对于所有可能的解决方案都能正确计算成本。

例如，对于只有两个像素的更简单图，我们将成对成本 (P_{ab}(0,0)) 添加到边 (s - b) 上。但在某些情况下，会出现额外成本的问题，所以我们从边 (a - b) 中减去相同的成本。同理，将 (P_{ab}(1,1)) 添加到边 (a - t) 并从边 (a - b) 中减去它，以此为每个标记关联正确的成本。

然而，之前的讨论假设边的成本都是非负的，这样才能作为最大流问题中的有效容量。但实际情况中，边的成本常常为负。即使原始的一元和成对项是正的，边 (a - b) 的成本 (P_{ab}(1,0) - P_{ab}(1,1) - P_{ab}(0,0)) 也可能为负。解决这个问题的方法是重新参数化。

重新参数化的目标是修改图中边的成本，同时不改变MAP解。具体来说，我们调整边的容量，为每个可能的解添加一个常数成本。这不会改变哪个解具有最小成本，因此MAP标记保持不变。

我们考虑两种重新参数化方式：
- 方式一 ：给从给定像素到源点和从同一像素到汇点的边添加一个常数成本 (\alpha)。由于任何解都会恰好切断这两条边中的一条，每个解的总成本增加 (\alpha)。我们可以利用这一点确