10、复杂数据密度建模：期望最大化算法及应用

复杂数据密度建模：期望最大化算法及应用

1. 期望最大化算法详解

期望最大化（EM）算法是一种迭代算法，用于在含有隐变量的概率模型中进行参数估计。该算法主要由E步（期望步）和M步（最大化步）组成，下面详细介绍这两个步骤。

1.1 E步

在E步中，我们需要根据分布 (q_i(h_i)) 更新边界 (B[{q_i(h_i)},\theta])。具体操作如下：
首先，对边界表达式进行处理：
[
B[{q_i(h_i)},\theta] = \sum_{i=1}^{I} \int q_i(h_i) \log \left[ \frac{\text{Pr}(x_i,h_i|\theta)}{q_i(h_i)} \right] dh_i
]
[
= \sum_{i=1}^{I} \int q_i(h_i) \log \left[ \frac{\text{Pr}(h_i|x_i,\theta) \text{Pr}(x_i|\theta)}{q_i(h_i)} \right] dh_i
]
[
= \sum_{i=1}^{I} \int q_i(h_i) \log[\text{Pr}(x_i|\theta)] dh_i - \sum_{i=1}^{I} \int q_i(h_i) \log \left[ \frac{q_i(h_i)}{\text{Pr}(h_i|x_i,\theta)} \right] dh_i
]
[
= \sum_{i=1}^{I} \log[\text{Pr}(x_i|\theta)] - \sum_{i=1}^{I} \int q_i(h_i) \l