37、二阶 μ - 演算的对应语义

二阶 μ - 演算的对应语义

1 引言

对可视化规范形式的可用性评估，依赖于表达属性的语言以及验证工具。对于图转换系统，自 Courcelle 开创性工作后，图逻辑的合适变体或片段被提出，其与图拓扑属性的联系也得到深入研究。

近年来，为推理图拓扑的可能转换，人们将时态逻辑和图逻辑结合。此前，许多人研究时态一阶逻辑的可判定性和复杂性，但这类逻辑通常不可判定。因此，大量精力投入到定义逻辑或识别片段上，这些逻辑牺牲了部分表达能力以换取高效计算性，使逻辑成为有效的规范机制。

近期，有人提出量化 μ - 演算的变体，它结合了时态逻辑的不动点和模态运算符与图的一元二阶逻辑。尽管不如完整的二阶逻辑表达能力强，但对于图转换系统来说，这种逻辑处于合适的抽象层次。

在分布式领导者选举算法的通信拓扑图中，我们可以用不同公式表达不同的活性属性。例如，公式 $\mu Z.(\exists x.s(x) = t(x)) \vee \Diamond Z$ 表示最终会有一个领导者；而公式 $\mu Z.\exists x.(s(x) = t(x) \vee \Diamond Z)$ 表示存在一个进程最终会成为领导者。

然而，这类逻辑的语义模型情况并不清晰。对于开放公式，存在跨世界身份问题，即如何将当前状态中变量的值传递到不动点变量所表示的状态。常见的“Kripke 语义”方法选择一组通用（图）项来构成每个状态，另一种方法利用对应关系，即状态之间的（部分）函数。但 Kripke 类解决方案在处理项的合并和演化关系形成循环时存在问题，通常需要限制状态之间的可允许演化关系，这可能会影响逻辑的直观含义。

本文提出一种全新的、纯对应关系的量化 μ - 演算语义。