44、周期性任务调度的列生成方法

周期性任务调度的列生成方法

1. 松弛问题求解

在解决周期性任务调度问题时，通过松弛变量 $x_{j,p}$ 的整数约束，可得到 $x_{j,p} \geq 0$，因为约束 $x_{j,p} \leq 1$ 由约束 (2) 隐含。采用列生成方法，首先考虑主问题，初始时主问题仅包含一小部分变量，即所有消息变量 $y_m$。

由于通常不清楚问题是否可行，所以添加一个特殊的 ECU（称为超级 ECU $E_S$）使问题人为可行，该超级 ECU 能够调度所有任务，并且仅允许一种模式 $p_t$ 且 $p_t = T$。为了检测原问题是否可行，给模式变量 $x_{E_S,p_t}$ 分配一个比不使用 $E_S$ 的任何最优解都大的成本，这样通过检查目标值就能轻松判断。

使用单纯形法求解主问题，并通过求解定价问题检查是否存在具有负缩减成本的非基本变量 $x_{j,p}$ 或 $z_q$。若存在这样的变量，除退化情况外，可知主问题找到的最优解并非原问题的最优解，需将该变量添加到主问题并重复此步骤；否则，该解也是原问题的最优解。

搜索变量的过程可分为几个子问题，即搜索给定 ECU $E_j$ 的变量 $x_{j,p}$ 和变量 $z_q$。对于变量 $x_{j,p}$，其在 ILP 松弛系数矩阵中的列可表示为 $(p, I_j, M(p), 0^{|M|}, 0)$，其中 $I_j$ 是 ${0, 1}^{|ECU|}$ 中的向量，在位置 $j$ 处恰好有一个 1，若 $p$ 意味着消息 $m$ 必须通过总线发送，则 $M(p)$ 中消息 $m$ 对应位置为 1。定价问题如下：
[
\begin{align }
&\min c(