32、道路网络中更快用户均衡的层次分解优化

道路网络中更快用户均衡的层次分解优化

1. 问题建模

在交通网络分析中，我们将道路网络抽象为图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是节点集合，代表交通流经过、进入或离开系统的地点；$E$ 是有向边集合，也就是街道段的集合。每条边承载着一定的交通流量，我们称之为“流”。每条边 $e$ 都有一个边权重，它是该边上的流量 $f_e$ 和边成本函数 $C_e$ 的结果。

在网络中给定 $|V|$ 个节点，设节点 $1, \ldots, p \leq |V|$ 是所谓需求集的起点或终点的节点子集。需求集 $D$ 被定义为三元组 $(i, j, k)$ 的集合，其中 $i, j \in V$ 分别表示起点和终点节点，$k \in N$ 表示在这些节点之间需要流动的单位数量。某条道路段上的流量是指在给定平均速度下，该路段当前车辆数量与最大车辆数量的比值。

2. 优化问题

交通分配问题可以作为一个最小化问题来解决。其目标函数基于总边流量和由此产生的边权重。设 $\omega$ 为边上的流量，目标函数定义为所有边权重变化的总和：
$$
\min(z) = \sum_{e \in E} \int_{0}^{f_e} C_e(\omega) d\omega
$$
约束条件是任意两个节点之间观察到的所有流量之和等于这些节点之间的总需求。我们可以使用 Frank - Wolfe 算法来解决这个最小化问题。在算法的每一步，通过向最优值进行梯度下降，用新的近似值替换旧的解近似值。

3. 初始化与迭代改进

• 初始化 ：采用全有或全无的需求集分配方式，