43、电路约束的加权计数算法及布尔 - 算术方程的获取与应用

电路约束的加权计数算法及布尔 - 算术方程的获取与应用

电路约束的加权计数算法

在约束编程领域，CIRCUIT 约束对于建模许多组合问题非常有用。然而，像 MiniCPBP 这类扩展了信念传播（BP）的 CP 求解器，要求约束配备加权计数算法，以便在定义域上传播概率质量函数，但目前 CIRCUIT 约束还不具备这一条件。

1. 相关概念引入

• 哈密顿回路 ：对于有向图 $G = (N, A)$，其哈密顿回路是一条经过 $A$ 中弧的路径，该路径恰好访问 $N$ 中的所有节点一次，并回到起始节点。对于无权图，每个哈密顿回路计为 1；对于加权图，回路的权重定义为回路中每条弧的权重 $w_a$ 的乘积，所有哈密顿回路的加权计数定义为 $H(G) = \sum_{c\in H(G)}\prod_{a\in c}w_a$。
• CIRCUIT 约束 ：定义在有限域变量 $s_i \in {j \in N : (i, j) \in A}$ 上的 CIRCUIT({$s_1, s_2, \ldots, s_{|N|}$}) 约束，强制要求弧集 ${(i, s_i) : i \in N}$ 构成图 $G$ 的一个哈密顿回路。

2. 加权计数算法设计

• 采样算法 ：设计了一种概率采样算法，改编自 Rasmussen 针对无向、无权图的估计器。算法从节点 1 开始，逐个邻居构建路径，注意在包含所有节点之前不形成子回路，最后检查最后一个节点是否有弧连接到第一个节点。算法如下：